Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы надполем действительных чисел. Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Квадратичная форма  называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого  выполнено неравенство  . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры  положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки  чередуются, начиная с отрицательного, причём . Здесь главными минорами матрицы  называются определители вида

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например,  для . В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Доказательство

Критерий положительной определённости квадратичной формы

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.[1]

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица  является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица  является положительно определённой. При замене матрицы  на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.