Нормальные виды квадратичной формы над полями комплексных и действительных чисел и эквивалентность квадратичных форм. Закон инерции Сильвестра.

Нормальный вид квадратичной формы

Для действительной квадратичной формы

где  r = rank A.

    Для комплексной квадратичной формы    r = rank A.

    Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.

Эквивалентные формы. Канонический вид.

Пусть имеются две квадратичные формы

и

от переменных x1,...,xn и y1,...,yn, соответственно. Будем говорить, что формы f и g эквивалентны (обозначение ), если существует невырожденная линейная замена переменных над полем k

переводящая форму f в g. Рассмотрим матрицу замены (она по определению невырождена)

Равенства (4) можно переписать в матричном виде: X=YT.

Проверим три условия эквивалентности (рефлексивность, симметричность и транзитивность). 1) Очевидно, что  (матрица замены будет единичной). 2) Если  и X=YT -- соответствующая замена, то обратная замена Y=XT-1 переводит форму g в f, т.е. . 3) Пусть  и  -- соответствующие замены. Тогда замена X=ZT2T1 с матрицей T2T1 переводит форму f в h, т.е. . Отметим также, как меняется матрица формы  в результате замены переменных X=YT. Имеем

Таким образом матрица формы изменяется по правилу

Будем говорить, что форма

имеет канонический вид, если она является суммой квадратов переменных с некоторыми коэффициентами. Это равносильно тому, что aij=0 при , т.е. матрица A -- диагональная.

Теорема. Всякая квадратичная форма эквивалентна некоторой форме канонического вида.

Разность между числом положительных () и отрицательных () членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).