пользователей: 21212
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Нормальные виды квадратичной формы над полями комплексных и действительных чисел и эквивалентность квадратичных форм. Закон инерции Сильвестра.

Нормальный вид квадратичной формы

   

Для действительной квадратичной формыCWzLhkFOe06SXuQOKGxCifKXCI5H7plgtoSuwcwx

где Y8dxyH_JoTeLRnJFxudoTyg_pOmyIlia_8XtdLYs r = rank A.

    Для комплексной квадратичной формыMHYlQSLIQrBHRtD_z_jv048JePd2--Ed7vTxo8Gf    r = rank A.

    Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.


 

Эквивалентные формы. Канонический вид.

 

Пусть имеются две квадратичные формы

bGY1m_84hqEdNJvtb6HK9ilR6TCilsAE17sjAA-m

и

UAIe-vD6BVk5uQ0dQHFaJ3Pdg-GesqUgcPqaqYG8

 

от переменных x1,...,xn и y1,...,yn, соответственно. Будем говорить, что формы f и g эквивалентны (обозначение yQEuH6eYmYjngZ0A7SqyJqUdq8BwLICm-_PYmCuS), если существует невырожденная линейная замена переменных над полем k9swPC-fH3-klbjv-lBf82x-5Mc4Yi3jJQMRP4cC3

 

переводящая форму f в g. Рассмотрим матрицу замены (она по определению невырождена)YW2-qVKgoJYlKfVUv8x7SlPWNweBAdQm7VI5bMMX

 

Равенства (4) можно переписать в матричном виде: X=YT.

 

Проверим три условия эквивалентности (рефлексивность, симметричность и транзитивность). 1) Очевидно, что qtnseWrIyGNDn4DvIFTEOgfzpy2J0yPSkaHcRGtj (матрица замены будет единичной). 2) Если auio_ADGWoKNU1c-BSCgYDWG_VKzGQAB3O0yuKV9 и X=YT -- соответствующая замена, то обратная замена Y=XT-1 переводит форму g в f, т.е. Slb8ocVzC7uQ6OEQ7ybIV0wKUz-DV_ybSaeCLRe_. 3) Пусть FepW4P3WKNqdCJuuBZDtUOrTGzYo29pscfKaJ3Xm и zgPuW_0oM7B7xuQW3wqbwysPHxzC-apoduSlOBXU -- соответствующие замены. Тогда замена X=ZT2T1 с матрицей T2T1 переводит форму f в h, т.е. kXjfWJFFF6M3tkh20IEEhCBD5wP1Bt2-fc-by-sA. Отметим также, как меняется матрица формы -PLCZv87mgYmLW_YPvp4YbxAcoLYIdEbQL7hCcCf в результате замены переменных X=YT. ИмеемysfI9h8Ecx4Q9sIfbLlHLbDn7R_dTlwKpWpfXtDU

 

Таким образом матрица формы изменяется по правилу6o9CK3knSHSrZYGe-FFnMCM1rQU8DKf4pOaInTi9

Будем говорить, что формаT7GUmgxFjs1-9dSqwXPOkLxphD8Fkp8oqgvn9c2A

 

имеет канонический вид, если она является суммой квадратов переменных с некоторыми коэффициентами. Это равносильно тому, что aij=0 при B8piNv8b_-54N5DFhKCM0OhsBwIVF7C-MawShQYt, т.е. матрица A -- диагональная.

 

Теорема. Всякая квадратичная форма эквивалентна некоторой форме канонического вида.


Разность между числом положительных (u4ePaAtzLSTdypcwnuqsMLkTMzSR3kyiMIJQvMlv) и отрицательных (HGRwk0eO-4brlRT1483_e_4RAJatp1423Hk-0eYX) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).


хиты: 8
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь