Квадратичная форма и ее матрица. Эквивалентные квадратичныеформы. Канонический вид квадратичной формы.

Эквивалентные формы. Канонический вид.

Пусть имеются две квадратичные формы:

и

от переменных x1,...,xn и y1,...,yn, соответственно. Будем говорить, что формы f и g эквивалентны (обозначение ), если существует невырожденная линейная замена переменных над полем k

переводящая форму f в g. Рассмотрим матрицу замены (она по определению невырождена)

Равенства (4) можно переписать в матричном виде: X=YT.

Проверим три условия эквивалентности (рефлексивность, симметричность и транзитивность). 1) Очевидно, что  (матрица замены будет единичной). 2) Если  и X=YT -- соответствующая замена, то обратная замена Y=XT-1 переводит форму g в f, т.е. . 3) Пусть  и  -- соответствующие замены. Тогда замена X=ZT2T1 с матрицей T2T1 переводит форму f в h, т.е. . Отметим также, как меняется матрица формы  в результате замены переменных X=YT. Имеем

Таким образом матрица формы изменяется по правилу

Будем говорить, что форма

имеет канонический вид, если она является суммой квадратов переменных с некоторыми коэффициентами. Это равносильно тому, что aij=0 при , т.е. матрица A -- диагональная.

Теорема. Всякая квадратичная форма эквивалентна некоторой форме канонического вида.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Пусть  есть векторное пространство над полем  и  — базис в .

Функция  называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а  — некоторые элементы поля .

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме соответствует единственная симметрическая матрица