пользователей: 21258
предметов: 10464
вопросов: 177980
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Квадратичная форма и ее матрица. Эквивалентные квадратичныеформы. Канонический вид квадратичной формы.

 

Эквивалентные формы. Канонический вид.

 

Пусть имеются две квадратичные формы:bGY1m_84hqEdNJvtb6HK9ilR6TCilsAE17sjAA-m

 

иUAIe-vD6BVk5uQ0dQHFaJ3Pdg-GesqUgcPqaqYG8

 

от переменных x1,...,xn и y1,...,yn, соответственно. Будем говорить, что формы f и g эквивалентны (обозначение yQEuH6eYmYjngZ0A7SqyJqUdq8BwLICm-_PYmCuS), если существует невырожденная линейная замена переменных над полем k9swPC-fH3-klbjv-lBf82x-5Mc4Yi3jJQMRP4cC3

 

переводящая форму f в g. Рассмотрим матрицу замены (она по определению невырождена)YW2-qVKgoJYlKfVUv8x7SlPWNweBAdQm7VI5bMMX

 

Равенства (4) можно переписать в матричном виде: X=YT.

 

Проверим три условия эквивалентности (рефлексивность, симметричность и транзитивность). 1) Очевидно, что qtnseWrIyGNDn4DvIFTEOgfzpy2J0yPSkaHcRGtj (матрица замены будет единичной). 2) Если auio_ADGWoKNU1c-BSCgYDWG_VKzGQAB3O0yuKV9 и X=YT -- соответствующая замена, то обратная замена Y=XT-1 переводит форму g в f, т.е. Slb8ocVzC7uQ6OEQ7ybIV0wKUz-DV_ybSaeCLRe_. 3) Пусть FepW4P3WKNqdCJuuBZDtUOrTGzYo29pscfKaJ3Xm и zgPuW_0oM7B7xuQW3wqbwysPHxzC-apoduSlOBXU -- соответствующие замены. Тогда замена X=ZT2T1 с матрицей T2T1 переводит форму f в h, т.е. kXjfWJFFF6M3tkh20IEEhCBD5wP1Bt2-fc-by-sA. Отметим также, как меняется матрица формы -PLCZv87mgYmLW_YPvp4YbxAcoLYIdEbQL7hCcCf в результате замены переменных X=YT. ИмеемysfI9h8Ecx4Q9sIfbLlHLbDn7R_dTlwKpWpfXtDU

 

Таким образом матрица формы изменяется по правилу6o9CK3knSHSrZYGe-FFnMCM1rQU8DKf4pOaInTi9

Будем говорить, что формаT7GUmgxFjs1-9dSqwXPOkLxphD8Fkp8oqgvn9c2A

 

имеет канонический вид, если она является суммой квадратов переменных с некоторыми коэффициентами. Это равносильно тому, что aij=0 при B8piNv8b_-54N5DFhKCM0OhsBwIVF7C-MawShQYt, т.е. матрица A -- диагональная.

 

Теорема. Всякая квадратичная форма эквивалентна некоторой форме канонического вида.

 

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Пусть ESc0GRCcCziy3TU6U2CjajE7nL875hZaWrhlDr52 есть векторное пространство над полем qWJinU4ByzPJt-RT1EqcVVj7b3wlL-oqNNnz-WHa и Pci_vMb00KL27FrGZf1ieJ7IJN7XE57xTW7k36B_ — базис в QjHeC1ocf0gfqsO6or_xjxNiF1N5zzX2Bp9Ce73v.

Функция HDJAuJ3XGnByWdKT7XjmHVzlIZfDPGmi3XzXkCQV называется квадратичной формой, если её можно представить в видеB7nbIfVVT43E1iXgRXtuTiRq3CrgJINgZkDPRKCn

где A7YJ-1p2GzRDtt_JzYB44VXHkSd-ib9S-4vQLWEF, а KAjN5Uhwetjb3kqteTXsYFvhQymANU8kJRIGhPg6 — некоторые элементы поля 6K-8zZhxtH_B13IPtUyWgrcUS_OMb0ii4bIK-8wp.

 

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме соответствует единственная симметрическая матрицаikP9YCPaq04aaJXzeL2o355NKIYuMrfQdUF5JGCs


хиты: 12
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь