Спектр. Лемма о собственных векторах и собственных значениях.

Пусть  — линейное преобразование n-мерного линейного пространства . Ненулевой вектор  линейного пространства , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором линейного преобразования . Число  в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению . Если пространство  вещественное (комплексное), то собственное значение  — действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром.

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования , если его образ  коллинеарен прообразу . Другими словами, если  — собственный вектор, то преобразование  имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор  соответствует некоторому собственному значению . Любой вектор  из  имеет вид , где  — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

Следовательно,  для любого вектора , т.е. подпространство  инвариантно относительно преобразования . Размерность подпространства  равна единице, так как  по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.