Кратность собственного значения. Теорема о геометрической кратности собственного значения.

Кратность собственного значения  — это число множителей равных  в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

Геометрическая кратность собственного значения  — это размерность соответствующего собственного подпространства ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку

Теорема:

Геометрическая кратность собственного значения  не превосходит его алгебраической кратности. 

Представим пространство  в виде прямой суммы  (см. свойство 4) и обозначим . Выбрав базис пространства , дополним его до базиса всего пространства. В этом базисе, согласно следствию теоремы 9.5, матрица  преобразования  будет иметь блочно-диагональный вид , где квадратная матрица  порядка  является матрицей сужения  преобразования  на подпространство , а матрица является матрицей сужения . Характеристический многочлен матрицы  имеет вид (см. определитель блочно-диагональной матрицы)

где  — многочлены степеней  и  соответственно. Так как сужение  не имеет собственных значений, отличных от , то , в силу того, что  и основной теоремы алгебры. Поскольку сужение  не имеет собственных векторов, принадлежащих собственному значению , то . Следовательно,  -алгебраическая кратность собственного значения . Тогда утверждение теоремы следует из включения (9.8): , так как .