пользователей: 21276
предметов: 10469
вопросов: 178036
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Матрица линейного преобразования, имеющего инвариантное подпространство. Прямая сумма инвариантных пространств.

Пусть r-0-hSrDy9GKVnsXIWTkOJ1U5u_yLs23NjMm6qw5 — линейное преобразование n-мерного пространства 1dRx9aNZFUMpdVZT-7hR_ap2dLpeUvFRFwBlJGn9, а 6PtW_nGB__j8xHc2a5IMtHrFfXIE6iPW5XlrT1BE — подпространство, инвариантное относительно преобразования AcYxiSXMUe9vBGmPC7fEyLECkA6ofvSKeAqLMYCP. Тогда существует базис j2dBlA1jJFzQhzWR-_smq3Rq9MjkLeCesEn40OAv пространства o3zobB0VbfvizTRu2m4qgtHPaF7ZNb1-2l2m1Fsu, в котором матрица 4pX1PU73FEdBXXs7GgcnP8qm_P2dx3IWZsX6EiMH преобразования r4WX5JGDAU05THja20aIpd4Wabkedpdap543h6is имеет нулевой угол:


-YuFfS6rUbhSTLKDS7Mz1ah6R221kxbseq4NOIqT

где cc_b6Cp0l7_sxrEIX6AuUyLNX5UlsL3N1Vk32UEU — матрица сужения P-8-ykfP7_wiTZDOY02KZwoO_0R32lAkgmW8doVO преобразования Dp1yBgzupHzfQdwNT73PDWac1q2tS-xnHqQ6JDlp на подпространство xzKltI0dZOCoeJR2XtXSosUaJVDUz68HjfdppSrd, uW2ZzS6c5BS5lgjZTjWJXjzL1PfXsI9fUFeFe2LA — нулевая матрица размеров ArwylmvwnJ4GQGUnzskSicOvQrJdfxQm5GBz70Lq. И наоборот, если в некотором базисе vsDzFueJ4AptT42U55B_J0mCqhC9rgPoqiPHFbx2 матрица IEHx40iMXbO5eS7XDa1GS1vWhJos_LeFKqlOZLLN преобразования 9oFeVCSUqDNW4FbRE_6-kDGU0bG86wbvlbUImK5C имеет нулевой угол (нулевую матрицу dhKlfTDinJ667NfolXUXybEeJ5fPchWwm4qKlurg размеров 8mcDmZHgrwTaoUJ0mn1a37Kb0CZNZXb0uXPJKL2v), то преобразование 4ryTCPzMWCTIPE4jte9uiUcBM6utFWdBn7bn6YGX имеет ℓ-мерное инвариантное подпространство.

 

В самом деле, возьмем базис gFT_ND5mQkcfzl7Xa9-y0YkIW40812LqDJ6JE91x подпространства IxRgJ9NOFTNGWKjyNJ7QFpA9E70DaIhM91NY3UnA и дополним его векторами a9hMH4MEmppd7bGxqwWKBkPdiVJuGa5GS1qEdu0p до базиса qNJlcF_C1j5k4CmA8eFUTe7PcZiaJCfjSIPtiFRS всего пространства G8MZbmbIn-RGoMOGUy3pBkXYoT_idwMXV7Hzm1wM. Раскладывая образы первых BY2fbafZlyA5DFPZrEkHUcLJfqanZU-4mqKslT3X базисных векторов по этому базису, получаем


x4VeZ2AgfS003nMJbHr9BBXAFLH5GvcLyMkJJvyr

так как VjCFiJL1tEud-uagLLOyv_c-qSkuPLSTtAQqGtmu. Следовательно, последние PJGd0fKnCjdMeXMnf2Qq1V5VIjYxBYjI0BCPOFof элементов первых D3nYKt-CVjYFnH4KcIcZVVuFA0OCvdxHXAnB1JZ9 столбцов матрицы 6S8bb_CtWFv8YGqFM7HKYBsV75w4xif9pNqNBF2P преобразования -tHMoB_lmgJnE79zQqtVmxS7-LGhCoO5UHyqhztL равны нулю. Обратное утверждение доказывается, проводя аналогичные рассуждения в обратном порядке.

 

Следствие. Если n-мерное пространство _KhBdCBkRFz9-jF9U_yXn6hvXorcsbpgNPgSe7Zo представлено в виде прямой суммы ненулевых инвариантных относительно преобразования qxGUt5Tpw2DmhWtnPgMP9Ah65s8BWP4DRwXbWmTa подпространств 9iAgJfQchS1KW0Yi8UPAzkt0tj0LUlyKe_LCeEaT, то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид


byQd3PxOSCQ_euFqyZBuG7dCWzPQpMFBmW5W4QL7

где lWuHGuHeE5Z1SV_oZR3FXdEEKA11ynvT9WMA_1WZ — матрица сужения A_FwWBJLsceypED9n23kBG2RLFg00MEYI5oC1QAk преобразования pxgrdPkjuRa5IcyH6Jem7Ouga7Bh-xaQ4R2sz7C3 на подпространство gw6Kwb7u1iNaMbR04CwQMzDQ6ZxFkqSn-6aS7stl.

 

Например, рассмотрим операторы проектирования OsE9JwWzpczbDE3_qRnFjPvbjJtwxZWUjkR3AR3g и отражения pKfpj3cH34vWeEA-sOAMMO5GkTfnHyPz2WnMoCYx. Объединяя базисы подпространств R0IZvcIf5Ql6xm227AwiDTo4zduvSm18QR6DLYOn и YQoi_sUFmF3HkBL9IcGdzqrvgfXTZONfNfNxBLbZ, получаем базис пространства PClU9yb3gt7PW1llUovIXuBh-10GQFLmshU1sN69, в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид


R34i18t4KcAkRO8eKN6L1P15P28zAKBZagG0h6iK

Касательно прямой суммы

Пусть j : Ln ® Ln - линейный оператор, Ln=L1Å L2  - пря­мая сумма j-инвариантных подпространств  L1  и  L2 ,

е¢ = – базис в L1, е¢¢ = – базис  в L2, dimL1= m, dimL2= n - m. Тогда  е = – ба­зис всего пространства Ln, и в этом базисе из инвариантности L1 матрица [j] имеет вид (1). Но мы можем утверждать и большее. Так как L2 – также j-инвариантно, то "j =m+1,…,n   j еjÎ L2, то есть j еj = 0е1+…+0еm + a m+1,j еm+1+…+anj еn  Þ в матрице (1)  В = 0, то есть  

                       [6gDPP1UC9LylNUG3NKpqdt6v8ZoI6YwH_u_3VdJv] =R9seawOu4yN6gadUsmgvz2KyP3rWMEO3IMHHHJRePYxEpa0l7vaL9MhXJp6S_Wky46qvJODUqrLTo1fw А1 А2  -                   (2)

распавшаяся или блочно-диагональная матрица. Здесь  А1 – квадратная матрица порядка m,  А2  - квадратная матрица по­рядка n – m,  А1 = bL-wQsKQ67Rbjr53XDyKQD2TYuFcuQXDpO1hhZ6l,  А2 =Uv2pvFoZoyfOwU57WlAQjA_WTiT6lerR0rpy2NQq.

     Обратно, если в некотором базисе  е  матрица [rj26Zfv9acLR-Nq5gZEsak2HGGqkhwLXRfqn7owR] имеет

вид (2), то Ln=L1ÅL2  - прямая сумма j-инвариантных подпространств  L1  и  L2 , где L1= <е1,…,еm>, L2= <еm+1,…, еn>.

     Вывод:  Ln  распадается в прямую сумму j-инвариантных

подпространств Û [X4C0sOWCAdViMP-E5h3VIh5HYJQ60pW2-5O2_rU1] в некотором базисе е имеет блочно- диагональный вид (2).

 

Теорема:

Сумма собственных подпространств является прямой суммой.

 

Для доказательства рассмотрим преобразование

Bi (A iE) = - l

для всех i =1,2,...,s и образы векторов x1, x2 ,...,xs при этих преоб-

разованиях. Для любых i и j имеем

( ) Bi x j = Ax j - li x j = l j - li x j .

Таким образом,

Bi x j ¹ q при i ¹ j , а = q Bi xi .

Допустим, что один из векторов x1, x2 ,..., xs раскладывается

по остальным, например,

x1 = a2 x2 + ... + as xs .

Подействуем на обе части равенства преобразованиями

B2 ,...,Bs . Тогда

= (l - l )× (l - l )× × (l - l ) ¹ q B2B3...Bs x1 1 2 1 3 ... 1 s x1 ,

тогда как произвольное слагаемое a j x j j = 2,...,s в правой части

равенства перейдёт в нулевой вектор:

B2B3...Bsa j x j = a j (l j - l2 )× ...× (l j - l j )×...× (l j - ls )x j = q .

Вся правая часть равенства перешла в нулевой вектор и полученное противоречие завершило доказательство теоремы.


Теорема.

Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств .pM38HfE1QFuzoiwgili0WpKl9PXJzGMFd4lRebWsи iTDNJBJ_XouFo7bVqvzRcWSs-sd7golYDUfYJNAO. При этом подпространство GvvxnIXnlQ5jO4Udk2RghIWrSyYZD5AHgGupqaX3 состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l = 0, а в подпространстве tYqhiEDNmGxLeG7HIU6E_iJRTR8-kcfLO1zKt90d преобразование А обратимо ( т. е. l = 0 не является собственным значением преобразования А в подпространстве 5JfSG4apRkPP40F_MWerSMQOLn4FqtUmSqSDUUYg).


хиты: 10
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь