Матрица линейного преобразования, имеющего инвариантное подпространство. Прямая сумма инвариантных пространств.

Пусть  — линейное преобразование n-мерного пространства , а  — подпространство, инвариантное относительно преобразования . Тогда существует базис  пространства , в котором матрица  преобразования  имеет нулевой угол:

где  — матрица сужения  преобразования  на подпространство ,  — нулевая матрица размеров . И наоборот, если в некотором базисе  матрица  преобразования  имеет нулевой угол (нулевую матрицу  размеров ), то преобразование  имеет ℓ-мерное инвариантное подпространство.

В самом деле, возьмем базис  подпространства  и дополним его векторами  до базиса  всего пространства . Раскладывая образы первых  базисных векторов по этому базису, получаем

так как . Следовательно, последние  элементов первых  столбцов матрицы  преобразования  равны нулю. Обратное утверждение доказывается, проводя аналогичные рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если n-мерное пространство  представлено в виде прямой суммы ненулевых инвариантных относительно преобразования  подпространств , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид

где  — матрица сужения  преобразования  на подпространство .

Например, рассмотрим операторы проектирования  и отражения . Объединяя базисы подпространств  и , получаем базис пространства , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид

Касательно прямой суммы

Пусть j : Ln ® Ln - линейный оператор, Ln=L1Å L2  - пря­мая сумма j-инвариантных подпространств  L1  и  L2 ,

е¢ = – базис в L1, е¢¢ = – базис  в L2, dimL1= m, dimL2= n - m. Тогда  е = – ба­зис всего пространства Ln, и в этом базисе из инвариантности L1 матрица [j] имеет вид (1). Но мы можем утверждать и большее. Так как L2 – также j-инвариантно, то "j =m+1,…,n   j еjÎ L2, то есть j еj = 0е1+…+0еm + a m+1,j еm+1+…+anj еn  Þ в матрице (1)  В = 0, то есть  

                       [] = А1∔ А2  -                   (2)

распавшаяся или блочно-диагональная матрица. Здесь  А1 – квадратная матрица порядка m,  А2  - квадратная матрица по­рядка n – m,  А1 = ,  А2 =.

     Обратно, если в некотором базисе  е  матрица [] имеет

вид (2), то Ln=L1ÅL2  - прямая сумма j-инвариантных подпространств  L1  и  L2 , где L1= <е1,…,еm>, L2= <еm+1,…, еn>.

     Вывод:  Ln  распадается в прямую сумму j-инвариантных

подпространств Û [] в некотором базисе е имеет блочно- диагональный вид (2).

Теорема:

Сумма собственных подпространств является прямой суммой.

Для доказательства рассмотрим преобразование

Bi (A iE) = - l

для всех i =1,2,...,s и образы векторов x1, x2 ,...,xs при этих преоб-

разованиях. Для любых i и j имеем

( ) Bi x j = Ax j - li x j = l j - li x j .

Таким образом,

Bi x j ¹ q при i ¹ j , а = q Bi xi .

Допустим, что один из векторов x1, x2 ,..., xs раскладывается

по остальным, например,

x1 = a2 x2 + ... + as xs .

Подействуем на обе части равенства преобразованиями

B2 ,...,Bs . Тогда

= (l - l )× (l - l )× × (l - l ) ¹ q B2B3...Bs x1 1 2 1 3 ... 1 s x1 ,

тогда как произвольное слагаемое a j x j j = 2,...,s в правой части

равенства перейдёт в нулевой вектор:

B2B3...Bsa j x j = a j (l j - l2 )× ...× (l j - l j )×...× (l j - ls )x j = q .

Вся правая часть равенства перешла в нулевой вектор и полученное противоречие завершило доказательство теоремы.

Теорема.

Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств .и . При этом подпространство  состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l = 0, а в подпространстве  преобразование А обратимо ( т. е. l = 0 не является собственным значением преобразования А в подпространстве ).