Говорят, что между элементами двух множеств 
и 
установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, которое каждому элементу 
сопоставляет один и только один элемент 
, при чем каждый элемент 
оказывается сопоставленным одному и только одному элементу 
. Взаимно однозначное соответствие будем обозначать 
, а соответствующие элементы: 
.
Два линейных пространства 
и 
называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:
1) сумме векторов пространства 
соответствует сумма соответствующих векторов пространства 
{
2) произведению числа на вектор пространства 
соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства 
Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.
1. При изоморфизме линейных пространств 
и 
– их нулевые элементы соответствуют друг другу 
;
– противоположные элементы соответствуют друг другу.
Это следует из определения, если в условии 2 положить 
или 
.
2. Линейной комбинации векторов пространства 
соответствует линейная комбинация соответствующих векторов пространства 
.
3. Линейно независимой (линейно зависимой) системе векторов пространства 
соответствует линейно независимая (линейно зависимая) система векторов пространства 
. Действительно, из пунктов 1,2 следует, что равенства 
и 
равносильны. Если не все коэффициенты 
равны нулю, то обе системы 
и 
линейно зависимы, в противном случае, обе системы линейно независимы.
4. Любое n-мерное линейное вещественное пространство 
изоморфно n-мерному арифметическому пространству 
, а л -мерное комплексное пространство изоморфно 
.
Это следует из пункта 4 замечаний 8.5, где установлено взаимно однозначное соответствие 
между векторами и координатными столбцами. Линейные операции с векторами в координатной форме показывают, что это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом.
5. Если пространство 
изоморфно пространству 
, а 
изоморфно пространству 
, то пространства 
и 
также изоморфны.
В самом деле, имея взаимно однозначные соответствия 
и 
, поставим в соответствие вектору 
такой вектор 
, что 
. Такое "сквозное" соответствие 
будет взаимно однозначным, сохраняющим линейные операции.
Теорема 8.3 об изоморфизме линейных пространств. Два конечно мерных линейных пространства (над одним и тем же числовым полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.
