пользователей: 21204
предметов: 10449
вопросов: 177330
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Теорема о сумме размерностей ядра и образа линейного преобразования.

Теорема: Для любого линейного преобразования φ из линейного пространства Vn сумма размерностей ядра и образа равна размерности n всего пространства

Док-во:

Положим dim V = n и зафиксируем произвольный базис f1,f2,...,fn пространства V.

Обозначим матрицу оператора A в этом базисе через A, а ее ранг — через r.

Пусть x ∈ V, а (t1,t2,...,tn) — координаты вектора x в базисе f1, f2, . . . , fn. Тогда

A(x) = A(t1f1 + t2f2 + ··· + tnfn) = t1A(f1) + t2A(f2) + ··· + tnA(fn).

Поскольку пространство Im A состоит из векторов вида A(x), мы получаем, что набор векторов A(f1),A(f2),...,A(fn) является системой образующих этого пространства.

Следовательно, размерность Im A равна размерности подпростанства, порожденного указанным набором векторов.

Учитывая, что столбцы матрицы A суть в точности столбцы координат векторов A(f1), A(f2), . . . , A(fn) в базисе f1, f2, . . . , fn, мы получаем, что размерность Im A равна рангу A по столбцам, т. е. dim Im A = r

Далее, пусть x ∈ V , а X — столбец координат вектора x в базисе f1,f2,...,fn.

Ясно, что x ∈ KerA тогда и только тогда, когда AX = O, где O — нулевой столбец.

Иными словами, пространство Ker A совпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений

AX = O.

Т.к. dimKerA=n−r то

Следовательно,

dim Im A + dim Ker A = r + (n − r ) = n. 


хиты: 10
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь