Ядро линейного преобразования. Размерность ядра линейного преобразования. Примеры.

Мы знаем что при линейном преобразовании φ нулевой вектор переходит сам в себя. Совокупность N(φ) всех векторов пространства Vn отображающихся при φ в нулевой вектор, непуста, а значит является линейным подпространством. Это подпространство называется ядром линейного преобразования, а его размерность — дефектом этого преобразования. Kerφ

(Другое определение — множество всех векторов x таких что A(x)=0)

Примеры 

Пусть  -- пространство многочленов степени  и преобразование  -- дифференцирование, т.е.

Ядро этого преобразования состоит из многочленов , для которых , т.е. из констант. Таким образом, ядро  здесь одномерно.

Образ  состоит из многочленов вида , где  имеет степень , т.е.  состоит из всех многочленов степени . Размерность  равна .

Рассмотрим теперь преобразование , которое задается формулой Для преобразования  ядро  состоит из всех многочленов не выше первой степени, а образ из всех многочленов степени  (проверьте!), т.е.  двумерно, а  имеет размерность .

Аналогично у преобразования  ядро трехмерно, а образ имеет размерность  и т.д.

Наконец, преобразование  в этом случае есть нулевое преобразование. Его ядро , а образ состоит только из нуля.

На этом примере видно, что при возведении преобразования в степень его ядро расширяется, а образ, наоборот, уменьшается. При этом размерность ядра как бы характеризует степень вырожденности преобразования. Чем больше ядро, тем меньше образ и тем ``более вырожденным'' является преобразование. Крайними случаями являются нулевое преобразование, ядром которого является все , а образ равен нулю, и, с другой стороны, обратимое преобразование, образом которого является все пространство, а ядро равно нулю.

При этом сумма размерностей ядра и образа всегда остается равной размерности всего пространства.