пользователей: 21204
предметов: 10449
вопросов: 177330
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Образ линейного преобразования. Ранг преобразования. Размерностьобраза линейного преобразования. Примеры.

Пусть в линейном пространстве Vn задано линейное преобразование φ. Если L — любое линейное подпространство пространства Vn, то совокупность Lφ образов всех векторов из L при преобразовании φ также будет линейным подпространством.

В частности, линейным подпространством будет и совокупность Vnφ образов всех векторов линейного пространства. Она называется образом линейного преобразования. (Областью значений) Imφ

(Другое определение — мн-во всех векторов y таких что A(y)=x для некоторого x)

Найдем размерность образа.

Так как все матрицы, задающие преобразование φ в разных базисах, подобны между собой, то они имеют один и тот же ранг. Это число можно назвать рангом преобразования.

Размерность образа линейного преобразования будет равна рангу линейного преобразования.

 

Док-во:

Пусть φ задается в базисе e1,e2,…,en матрицей A.

Подпространство Vnφ выражается векторами e1φ,e2φ,…,enφ (1)

Базисом подпространства Vnφ будет служить любая максимальная линейно независимая подсистема системы (1).

Однако число линейно независимых векторов в (1) будет равно числу линейно независимых строк матрицы A, т.е. равно рангу этой матрицы. ▶ 


хиты: 6
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь