пользователей: 21231
предметов: 10456
вопросов: 177504
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Умножение на число и сложение линейных преобразований. Матрицапроизведения числа на линейное преобразование, матрица суммылинейных преобразований.

Пусть в линейном пространстве дано линейное преобразование φ. Назовем произведением преобразования φ на число Х такое преобразование Хφ, что:

a(Хφ) = Х(aφ)

Образы векторов умножаются на число Х.

Преобразование Хφ является линейным: для любых векторов a и b и для любого числа α

(a+b)(Хφ) =

(αa)(Хφ) =

(a+b)(Хφ) = Х[(a+b)φ] = Х(aφ+bφ) = Х(aφ) + Х(bφ) = a(Хφ) + b(Хφ) — св. 1

(αa)(Хφ) = Х[(αa)φ] = Х[α(aφ)] = α[Х(aφ)] = α[a(Хφ)] — св. 2

 

Пусть матрица линейного преобразования φ: A=(αij). Тогда

ei(Хφ) = Х(eiφ) = Х∑(j=1..n)αijej = ∑(j=1..n)(Хαi)jej

Т.е.

e(Хφ) = (ХA)e

Матрица произведения линейного преобразования на число равна произведению матрицы преобразования на число.

 

Сопоставляя линейные преобразования с их матрицами получаем взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями и всеми квадратными матрицами порядка n. Операциям умножения матрицы на число и сложения матриц будет соответствовать аналогичные операции над линейными пространствами.

Пусть в линейном пространстве даны линейные преобразования φ и ψ. Назовем суммой этих преобразований такое преобразование φ+ψ, что:

a(φ+ψ) = aφ + aψ

Оно переводит любой вектор в сумму его образов при линейных преобразованиях φ и ψ.

Преобразование φ+ψ является линейным: для любых векторов a и b и для любого числа α

(a+b)(φ+ψ) = (a+b)φ + (a+b)ψ = aφ + bφ + aψ + bψ = a(φ+ψ) + b(φ+ψ) — св. 1

(αa)(φ+ψ) = (αa)φ + (αa)ψ = α(aφ) + α(aψ) = α(aφ+aψ) = α[a(φ+ψ)] — св. 2

 

Пусть матрицы линейных преобразований φ и ψ: A=(αij) и B=(βij). Тогда

ei(φ+ψ) = eiφ + eiψ = ∑(j=1..n)αijej + ∑(j=1..n)βijej = ∑(j=1..n)(αij + βij)ej

Т.е.

e(φ+ψ) = (A+B)e

Матрица суммы линейных преобразований равна сумме матриц линейных преобразований


хиты: 8
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь