пользователей: 21211
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Теорема о существовании и единственности линейного преобразованиялинейного пространства.

Док-во единственности:

Пусть e=e1,e2,…,en — базис линейного пространства Vn.

Так как всякий вектор a однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов базиса, то образ вектора a представляется в виде линейной комбинации образов векторов базиса с теми же коэффициентами. Иными словами, всякое линейное преобразование φ однозначно определяется заданием образов e1φ,e2φ,…,enφ всех векторов базиса.

Какова бы ни была упорядоченная система из n векторов пространства Vn: c=c1,c2,…,cn

существует, притом единственное линейное преобразование φ этого пространства, что c служит системой образов векторов базиса.

eiφ=ci, i=1,…,n ▶

Док-во существования:

Если a — произвольный вектор в базисе e, он записывается:

a=∑(i=1..n)αiei

то положим:

aφ=∑(i=1..n)αici

Докажем линейность этого преобразования. Если

b=∑(i=1..n)βiei — любой другой вектор пространства, то

(a+b)φ=∑(i=1..n)αici + ∑(i=1..n)βici = aφ + bφ — св-во 1)

Если же ɣ любое число, то

(ɣa)φ = [ ∑(i=1..n)(ɣαi)ei ]φ = ∑(i=1..n)(ɣαi)ci = ɣ∑(i=1..n) αici = ɣ(aφ) — св-во 2)

ci=∑(j=1..n)αijej для i=1..n в базисе

Из координат вектора ci в базисе можно составить квадратную матрицу:

A=(αij) — матрица линейного преобразования 


хиты: 12
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь