Док-во единственности:
Пусть e=e1,e2,…,en — базис линейного пространства Vn.
Так как всякий вектор a однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов базиса, то образ вектора a представляется в виде линейной комбинации образов векторов базиса с теми же коэффициентами. Иными словами, всякое линейное преобразование φ однозначно определяется заданием образов e1φ,e2φ,…,enφ всех векторов базиса.
Какова бы ни была упорядоченная система из n векторов пространства Vn: c=c1,c2,…,cn
существует, притом единственное линейное преобразование φ этого пространства, что c служит системой образов векторов базиса.
eiφ=ci, i=1,…,n ▶
Док-во существования:
Если a — произвольный вектор в базисе e, он записывается:
a=∑(i=1..n)αiei
то положим:
aφ=∑(i=1..n)αici
Докажем линейность этого преобразования. Если
b=∑(i=1..n)βiei — любой другой вектор пространства, то
(a+b)φ=∑(i=1..n)αici + ∑(i=1..n)βici = aφ + bφ — св-во 1)
Если же ɣ любое число, то
(ɣa)φ = [ ∑(i=1..n)(ɣαi)ei ]φ = ∑(i=1..n)(ɣαi)ci = ɣ∑(i=1..n) αici = ɣ(aφ) — св-во 2)
▶
ci=∑(j=1..n)αijej для i=1..n в базисе
Из координат вектора ci в базисе можно составить квадратную матрицу:
A=(αij) — матрица линейного преобразования
