Прямые суммы подпространств. Теоремы о прямых суммах(формулировки).

Пространство L является прямой суммой своих подпространств L1,L2,…Ln, если каждый вектор l∈L однозначно представляется в виде

∑(i=1..n) li, где li∈Li

Когда условия выполнены, мы пишем L = L1 ⊕ L2 ⊕ … ⊕ Ln или L = ⊕(i=1..n) Li

Например, если e1,e2,…,en — базис L, а L=∑(i=1..n) Li — линейная оболочка вектора ei, то L =⊕(i=1..n) Li.

Если L = ⊕(i=1..n) Li то L=∑(i=1..n) Li (последнее условие более слабое)

Т.: Пусть L1,L2,…Ln подпространства L. L = ⊕(i=1..n) Li тогда и только тогда когда выполнено любое из условий:

1) ∑(i=1..n) Li = L и Lj∩[ ∑(i≠j) Li ] = {0} для всех 1≤j≤n

2) ∑(i=1..n) Li = L и ∑(i=1..n) dimLi = dimL (если L конечномерно)

________________________________________________________________________

Говорят, что линейное пространство fAhyzZzpZ1R1q1m9i9WAadgo_92yU4q1kAhhGVZ1 есть прямая сумма своих подпространств tW6o_g_-y0WcPMS0JCeY6V2EIgMz9qVNTmPsVN4p : WXK-UZmAW6BILVzpHieOhVQxiiALVmKVUuUfC1CK

если каждый вектор ddW0bP4LzpNSrTROV5X8YWQyte19H3sX0joIcatp представляется в виде суммы NBf5tonaVbSt_Qj2f3hAdl1t60-FrqtUKH-l8Drd

и притом единственным образом.

Понятие прямой суммы kOVmFGWtxA6iqLYjw98tsxTkwi4hPTvlXmV3PYvM распространяется на случай, когда hP-29i3gtCArUFXM7_UVFGXROp3BRpiFs0LDbDnU изначально не являются подпространствами какого-либо одного объемлющего линейного пространства.

Определим 0yIDTYUO66rKxeQTQyy1dtJELbAcJNC6zO2qRaaX как декартово произведение gIlbCFkCnY2sxqvIbPOxWHecKzw2MWjfWY7EKHe4 и определим в нём операции линейного пространства с помощью формул d5bAOzg9hMNXrh-vTW2pA8RK2LpYGtAuJTD4Hunr

Тогда 3JeZQAlajcyJClhi-Bg6gRZf1BwSGSxblWWlJav3 является линейным пространством, содержащим подпространства _jnAw0vpI9lB84DeXNGXjOTXxAERBLqSivJxoEwL Согласно построению, каждый вектор yAWO-7A7EFCZaUAwNCNuSvwYSpdR7o8dUpYS6JdD однозначно представим в виде w8p7uNck5wzTIvYLjc3IctQ12BVENd_f37CDxFcD Oft7NV0Go4N7fw9GBcCj7rgcuX4uJUL5mCkHS-GX следовательно, bv81o7IuagBNC3mS3Mar5xhOOXlmmR45Jk2RLwtI