Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
 . |
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.
Уравнение плоской волны
Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.
Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: 
. Пусть колебание точек, лежащих в плоскости 
, имеет вид (при начальной фазе 
)
  |
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время 
.
Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
 , |
– это уравнение плоской волны.
Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания 
. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.
Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.
В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
 , или  . |
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.
Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:
.
Уравнение волны можно записать и в другом виде.
Введем волновое число 
, или в векторной форме:
 , |
где 
– волновой вектор, 
– нормаль к волновой поверхности.
Так как 
, то 
. Отсюда 
. Тогда уравнение плоской волны запишется так:
 . |
Уравнение сферической волны
В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.
Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. 
). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу 
. Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 
. Следовательно, уравнение сферической волны:
 , или  , |
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.
Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при 
, амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний 
, следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.
