Уравнение затухающих колебаний

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида $scriptstyle u(t) = A cos(omega t+q)$ в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний $scriptstyle u'_t$ или её квадрата.

Уравнение для затухающих колебаний:

u(t)=Ae^-ʎtcos(ωt+φ)

Решения

Зависимость графиков колебаний от значения $zeta$ .

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность

Если $scriptstyle zeta>1$ , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

$x(t)=c_1 e^{lambda_- ,t}+c_2 e^{lambda_+ ,t}$

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница апериодичности

Если $scriptstyle zeta=1$ , два действительных корня совпадают $scriptstyle lambda = -omega_0$ , и решением уравнения является:

$x(t)=(c_1t+c_2) e^{-omega_o t}$

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание

Если $scriptstyle zeta<1$ , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

$lambda_pm = -omega_0zeta pm i omega_0 sqrt{1- zeta^2 })$

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

$x (t) = e^{- zeta omega_0 t} (c_1 cos( omega_mathrm{d} t) + c_2 sin( omega_mathrm{d} t )),$

Где $scriptstyle omega_mathrm{d}=omega_0 sqrt{1- zeta^2 }$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_1$ и $c_2$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $left{begin{array}{ccc}x(0) &=& a \ dot{x}(0) &=& b end{array}right.$