Теорема Гюйгенса-Штейнера

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса):момент инерции $J$ тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела $J_C$ относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела $m$ на квадрат расстояния $d$ между осями:

$J=J_C+md^2,!$

где

$J_C$ — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

$J$ — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

$m$ — масса тела,

$d$ — расстояние между указанными осями.

Момент инерции, по определению:

$J=sum_{i=1}^n m_i (vec{r'}_i)^2,!$

Радиус-вектор $vec{r'}_i,!$ можно расписать как сумму двух векторов:

$vec{r'}_i=vec{r}_i+vec{d},!$ ,

где $vec{d}$ — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

$J=sum_{i=1}^n m_i (vec{r}_i)^2 + 2 sum_{i=1}^n m_i vec{r}_i vec{d} + sum_{i=1}^n m_i (vec{d})^2,!$

Вынося за сумму $vec{d}$ , получим:

$J=sum_{i=1}^n m_i (vec{r}_i)^2 + 2 vec{d} sum_{i=1}^n m_i vec{r}_i + d^2 sum_{i=1}^n m_i ,!$

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

$sum_{i=1}^n m_i vec{r}_i=0,!$

Тогда:

$J=sum_{i=1}^n m_i (vec{r}_i)^2 + d^2 sum_{i=1}^n m_i ,!$

Откуда и следует искомая формула:

$J=J_C + m d^2,!$ ,

где $J_C$ — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Пример

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью $C$ ) равен

$J_C=frac{mL^2}{12}.$

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

$J=J_C+md^2,!$

где $d$ — расстояние между искомой осью и осью $C$ . В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле $d=L/2$ :

$J=J_C+mleft(frac{L}{2}right)^2=frac{mL^2}{12}+frac{mL^2}{4}=frac{mL^2}{3}.$