Основной закон динамики вращательного движения

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

,                                                         

где – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А  приложить силу , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение  и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила ,…, . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где ,

поэтому ,                                                   

Рис.  Твердое тело, вращающееся под действием силы около оси “ОО”.

где m_i – масса i-й точки; – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,                                                          (1.8)

где  – момент силы – это произведение силы  на ее плечо r_i.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

 – момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

.                                                              (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим  через М, а  через J, тогда

.                                                            (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина  – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение .  – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: “Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение”.

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости  по времени t , то есть

,                                                              (1.11)

где  – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени dt.

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

 или ,                                              (1.12)

где  – импульс момента силы – это произведение момента силы М на промежуток времени dt .

 – изменение момента импульса тела,

 – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а  есть dL.

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса dL”:

 или  = dL.