Детерминированные сигналы
Пользуясь фильтрующим свойством δ-функции, запишем:
Это выражение можно рассматривать как динамическую модель сигнала. Поскольку ,
Рассмотрим импульсную характеристику g(t) линейного канала как его отклик в момент времени t на ,поданный в момент времени 0.Тогда отклик на сигнал в соответствии с принципом суперпозиции будет равен
Это выражение называют интегралом Дюамеля. Он определяет отклик линейной системы у(t) как свёртку сигналов x(t) иg(t): Этот интеграл имеет следующий смысл: линейная цепь выполняет над входным сигналом операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших в прошлом при .
Для линейных каналов передаточная функция не зависит от времени, поскольку
Импульсную характеристику g(t) можно найти из K(f) обратным преобразованием Фурье:
Спектр Фурье свёртки равен
Зная спектральную плотность выходного сигнала, можно найти выходной сигнал y(t) обратным преобразованием Фурье:
Случайные сигналы
Рассмотрим нормальное распределение входного процесса. При любых линейных операциях с гауссовским процессом распределение остаётся нормальным, изменяется только функции корреляции и СПМ.
Спектральная плотность входного сигнала будет Задача нахождения решается с помощью умножения спектральной плотности «усечённой» реализации процесса на передаточную функцию фильтра , получим спектральную плотность этой же реализации на выходе:
Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно определить с помощью равенства Парсеваля:
Тогда получим
Корреляционная функция СП на выходе фильтра определяется с помощью выражения
Эти соотношения можно вывести и на основе заданной импульсной характеристики цепи:
– корреляционная функция
