Определение абсолютного ускорения при точки при сложном движении точки в случае вращательного переносного движения.Теорема Кориолиса

3.1 Определение скоростей и ускорений точек в сложном движении

Теоремы о скоростях и ускорениях точек в сложном движении изложены во всех учебниках по теоретической механике.

Абсолютная скорость точки определяется как геометрическая сумма переносной и относительной скоростей:

Каждое слагаемое в этой формуле определяется независимо друг от друга, исходя из соответствующего закона движения. В примере на рисунке 3.2 относительная скорость V_r определяется с учетом закона движения точки по оси Oy .

Переносная скорость определится как скорость точки M при вращении вместе с квадратом вокруг оси его вращения. Величина абсолютной скорости может быть определена с помощью теоремы косинусов:

Для определения вектора абсолютной скорости можно равенство (3.1) спроецировать на выбранные оси координат, найти проекции абсолютной скорости, её величину и направляющие косинусы, то есть определить углы, которые вектор скорости составляет с выбранными осями.

Ускорение точки определяется как сума трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова (поворотного):

Первые два слагаемые этой формулы определяются из соответствующих законов переносного и относительного движений. В случае неравномерных криволинейных движений эта формула имеет вид

формула ускорения для неравномерных криволинейных движений

Кориолисово ускорение определяется по формуле:

Величина этого ускорения a_K=2ω_eV_rsinα , (3.5)

где α - угол между векторами переносной угловой и линейной относительной скоростями.

Направление кориолисова ускорения определяется двумя правилами:

1) Правило векторного произведения

Согласно этому правилу вектор кориолисова ускорения перпендикулярен векторам ω_e и V_r (или плоскости, проходящей через эти вектора, проведенные из одной точки). Направлен вектор a_K так, что если смотреть ему навстречу, то кратчайший поворот вектора ω_e до совмещения с вектором V_r происходит против хода часовой стрелки (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3

2) Правило Жуковского

Для определения направления кориолисова ускорения нужно спроецировать вектор относительной скорости в плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости и полученную проекцию повернуть на в сторону переносного вращения (рисунок 3.4).

Правило Жуковского. Для определения направления кориолисова ускорения

Рисунок 3.4

Из формулы (3.5) видно, что кориолисово ускорение равно нулю, если

- равна нулю относительная скорость;

- переносное движение - поступательное (ω_e=0 );

- угол между ω_e и V_r равен 0^o или 180_o (вектор V_r параллелен оси переносного вращения).

Абсолютное ускорение точки определяется по аналогии с определением её скорости. Формула (3.3) проецируется на выбранные оси координат, и находятся проекции абсолютного ускорения на эти оси:a_x, a_y, a_z. Величина ускорения определяется по формуле:

Направление вектора абсолютного ускорения определяется с помощью направляющих косинусов, то есть определяются углы, которые вектор ускорения составляет с осями координат:

1.3 Ускорение точки в сложном движении. Ускорение Кориолиса

Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3)

a_a = a_r⊕ a_{_e} ⊕ a_C.

Рис. 3

Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение a_r направлено вдоль этой прямой и определяется выражением

Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением

a_{_e} = a_e^вр ⊕ a_e^цс,

где a_e^вр= ε⋅ OM - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM ;

a_e^цс= ω²⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.

Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле

a_{_C}= 2 ω_e ⊗ ν_r,

где ω_e - переносная угловая скорость,

ν_r - относительная скорость точки.

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

Величина ускорения Кориолиса определяется выражением

a_C= 2 ω_eν_rsinα ,

где α – угол между векторами ω_e и ν_r.

Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).

точка движется относительно диска с постоянной относительной скоростью

Рис. 4

Пусть в момент времени t₁ точка M занимала положение M₁ и имела относительную скорость ν_{r 1} . За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M₂, при этом направление скорости ν_r изменится вследствие вращения диска. Вектор ν_r получит приращение Δν_r . Отношение Δν_r / Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt . Предел отношения Δν_r / Δt при Δt→ 0 есть производная dν_r / dt , как производная от вектора постоянного по величине.

Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t₁ и t₂ переносная скорость определяется выражениями ν_e₁= ω ⊗ OM₁ и ν_e2= ω ⊗ OM₂ . Тогда приращение вектора ν_e за счет относительного движения будет равно

Δν_e= ω ⊗ OM₂- ω ⊗ OM₁= ω ⊗ (OM₂- OM1) = ω ⊗ ν_r⋅ Δt

Отношение Δν_e/ Δt в пределе при Δt→ 0 дает производную dν_e / d t = ω ⊗ ν_r. Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.

Рис. 5

Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов: