Определение скоростей и ускорений точек при плоском движении

На рисунке изображен плоский кривошипно-ползунный механизм. Звено ОА вращается вокруг точки О по закону ϕ(t)=π/3t2ϕ(t)=π/3t2 радиан. Известны длины звеньев OA и AB. Найти скорость и ускорение точки B, а также угловую скорость и угловое ускорение звена AB в момент времени t=1ct=1c. На рисунке изображен механизм в положении, соответствующем моменту времени t=1ct=1c. В этот момент времени между звеньями OA и AB прямой угол.

Для определения скорости точки B запишем теорему о скоростях плоской фигуры AB, выбрав за полюс точку А:

v ⃗ B = v ⃗ A + v ⃗ B A . (1) v\toB=v\toA+v\toBA. (1)

Скорость точки А определим, зная что эта точка вращается вместе со звеном ОА вокруг точки А:

v A = ω O A = ϕ ˙ (t) O A vA=ωOA=ϕ˙(t)OA

Скорость точки А будет направлена перпендикулярно звену ОА.

В уравнении (1) известно направление скорости точки B: скорость точки B направлена по горизантали. Пусть v⃗ Bv→B направлена справа налево, в результате дальнейших вычислений знак в выражении для vBvB покажет истинное направление скорости v⃗ Bv→B. Известно также направление скорости точки B при её движении вокруг полюса А: v⃗ BA⊥ABv→BA⊥AB. Величина этой скорости определяется следующим образом:

v B A = ω A B A B, vBA=ωABAB,

где ωABωAB - угловая скорость звена AB. Для определения неизвестных, входящих в векторное уравнение (1) (скорость точки B и угловая скорость ωABωAB), спроецируем это векторное уравнение на вертикальную и горизонтальную оси. Проекция векторов уравнения на ось xx:

v B = v A sin ϕ + v B A c o s α . vB=vAsinϕ+vBAcosα.

Проекция векторов уравнения на ось xx:

0 = v A cos ϕ + v B A s i n α . 0=vAcosϕ+vBAsinα.

Из последнего уравнения определяем vBAvBA и угловую скорость звена AB:

v B A = - v A cos ϕ sin α, ω A B = - v A cos ϕ A B sin α . vBA=-vAcosϕsinα, ωAB=-vAcosϕABsinα.

Знак минус перед выражением для vBAvBA и ωABωAB говорит о том, что действительное направление угловой скорости звена AB отличается от того что показано на рисунке. Подставляя vBAvBA в первое уравнение, найдем скорость точки B:

v B = v A sin ϕ - v A cos ϕ tan α . vB=vAsinϕ-vAcosϕtanα.

Ускорение точки B определим, используя теорему об ускорениях:

a ⃗ B = a ⃗ A + a ⃗ n B A + a ⃗ τ B A . a\toB=a\toA+a\toBAn+a\toBAτ.

Точка A вращается вместе с телом OA с известным угловым ускорением и угловой скоростью. Ускорение точки А будет складываться из вращательного и осестремительного ускорений:

a ⃗ A = a ⃗ τ A + a ⃗ n A . a\toA=a\toAτ+a\toAn.

Осестремительное ускорение, направленное к оси вращения, определится следующим образом:

a n A = ω 2 O A = ϕ ˙ (t) O A aAn=ω2OA=ϕ˙(t)OA

Вращательное ускорение точки А, перпендикулярно ОА и равно:

a τ A = ε O A = ω ˙ O A = ϕ ¨ (t) O A aAτ=εOA=ω˙OA=ϕ¨(t)OA

Ускорение точки В, входящее в уравнение (1) направено вдоль оси x. Предположим, что ускорение a⃗ Ba→B направлено справа налево. Направления компонент полного ускорение точки B при ее движении вокруг точки А: a⃗ nBAa→BAn и a⃗ τBAa→BAτ, показаны на рисунке. Зная угловую скорость вращения звена АВ, определим осестремительное ускорение точки В при её движении вокруг полюса (точка А):

a n B A = ω 2 A B A B . aBAn=ωAB2AB.

Вращательное ускорение точки В вокруг полюса выражается следующим образом:

a τ B A = ε A B A B . aBAτ=εABAB.

Спроецируем векторное уравнение на оси xx и yy. Проекция на ось xx:

a B = a n A cos ϕ + a τ A sin ϕ + a n B A cos α - a τ B A sin α . aB=aAncosϕ+aAτsinϕ+aBAncosα-aBAτsinα.

Проекция на ось yy:

0 = - a n A sin ϕ + a τ A cos ϕ + a n B A sin α + a τ B A cos α . 0=-aAnsinϕ+aAτcosϕ+aBAnsinα+aBAτcosα.

Из последнего уравнения определяем вращательное ускорение точки В вокруг полюса и угловое ускорение звена АВ:

a τ B A = a n A sin ϕ - a τ A cos ϕ - a n B A sin α cos α, ε A B = a τ B A A B . aBAτ=aAnsinϕ-aAτcosϕ-aBAnsinαcosα, εAB=aBAτAB.

Подставив aτBAaBAτ, найдем ускорение точки B:

a B = a n A cos ϕ + a τ A sin ϕ + a n B A cos α - (a n A sin ϕ - a τ A cos ϕ - a n B A sin α) tan α .