Естественный способ задания движения точки.Скорость точки при естественном способе задания движения

 

Рисунок 1.4

     При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении.

 

     Единичные орты  τ, n ,b определяют направление соответствующих осей в каждой точке кривой.

Рисунок 1.5

 

     Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

1) знать траекторию движения;

2) установить начало отсчета на этой кривой;

3) установить положительное направление движения;

4) дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t) .

   Зная эти параметры можно найти все кинематические характеристики точки в любой момент времени (рисунок 1.5).

     

   Скорость точки определяется по формулам (1.9)

                                          V=τ⋅dS/dt,    V=dS/dt.   (1.9)

 

      Первая формула определяет величину и направление вектора скорости, вторая формула только величину.

 

     Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

 

   т.е.  a=aτ+an.    (1.10)

 

     В формуле (1.10)

     aτ=τ⋅dV/dt=τ⋅d2S/dt2, aτ=dV/dt=τ⋅d2S/dt2- касательное ускорение; оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

 

     an=n⋅V2/ρ, an=V2/ρ - нормальное ускорение точки; характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

 

    ρ - радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности:ρ=R  , для прямой линии ρ=∞ ).

 

     Полное ускорение точки определяется следующим образом (рисунок 1.5):

 

     Выше отмечалось,  что всегда можно перейти от одного способа задания закона движения точки к другому. Поэтому, преобразовывая одни и те же формулы, можно получить другое их написание.

 

    Например,  

или   aτ=acosγ (рисунок 1.5).       

 

    Далее 

Рис.5

 

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M1, М2,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость

s=f(t).

Уравнение выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории. Функция s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t)не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории.

Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция s = f(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М1 в М2. Положению точки в М1 соответствует  время t1, а положению точки в М2 - время t2. Разложим промежуток времени t2- t1 на весьма малые промежутки времени∆t1 (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим ∆si. Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной:

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле

так как

где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

Следовательно,

 

Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).

Рис.6

 

В начале движения, при t=0   s=OM0=s0=3 см. Положение точки M0 назы­вается начальным положением.  При  t=1 с,   s=OM1=5 см. 

Конечно, за 1 сек. точка прошла расстоя­ние  M0M1=2 см. Так  что  s – это не путь пройденный точ­кой, а расстояние от начала отсчёта до точки.