Координатный способ задания точки.Скорость точки при координатном способе задания движения

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

x=f₁(t),      y=f₂(t),     z=f₃(t).

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t.

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор  на составляющие по осям координат:

где r_x, r_y, r_z - проекции вектора на оси;  – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало    вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому 

Если движение точки задано в полярных координатах

r=r(t),    φ = φ(t),

где r — полярный радиус, φ — угол между полярной осью и по­лярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траекто­рии точки. Исключив параметр t, получим

r = r(φ).

Пример 1. Движение точки задано уравнениями

    Рис.4                         

Чтобы  исключить время, параметр t, найдём  из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем  возведём  в  квадрат  и  сложим.  Так  как sin²2t+cos²2t=1, получим . Это уравнение  эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4).

Начальное  положение  точки M₀ (при t=0) определяется  координатами x₀=0,  y₀=3 см. 

Через 1 сек. точка будет в положении M₁ с координатами

x₁=2sin2=2∙0,91=1,82 см,    y₁=2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см.

Примечание.

Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.