ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ ПО ФОРМУЛЕ ЭЙЛЕРА |
Для шарнирно закрепленного, центрально-сжатого стержня постоянного сечения (рис.8.2). I Формула Эйлера имеет вид: |
где Е - модуль продольной упругости материала стержня; |
Jmin - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня. |
Для стержней с другими видами закрепления формулу Эйлера записывают в виде: |
где - приведенная длина стержня; |
- коэффициент приведения длины. |
Выражение "приведенная длина" означает, что в формуле Эйлера с помощью коэффициента все случаи закрепления концов стержня можно привести к основному, шарнирному закреплению. |
Коэффициент приведения длины иногда можно оценить по числу полуволн n, по которым выпучится стержень, теряя устойчивость, а именно, можно принять |
На рис. 8.2 показаны наиболее часто встречающиеся на практике случаи закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента |
Рис. 8.2 |
Формула Эйлера применима только о пределах выполнения закона Гука, когда критическое напряжение не превышает предел пропорциональности материала стержня, так как эта формула была введена с помощью зависимости |
в свое время полученной на основании закона Гука. |
Применимость формулы Эйлера можно определить, оценив гибкость стержня и сравнив эту гибкость с ее предельным значением. Гибкость стержня равна |
где |
- минимальный радиус инерции (геометрическая характеристика сечения); |
- минимальный момент инерции площади сечения стержня. |
Значение предельной гибкости получается из условия |
Предельная гибкость равна |
Так, для малоуглеродистой стали, если принять Е = 2x105 МПа, |
Для повышения несущей способности конструкций в них стремятся использовать стержни возможно меньшей гибкости. Так что расчет реальных конструкций с гибкостью практически маловероятен. Будем считать |
верхней границей значений гибкости реальных стержней. |
Следовательно, формула Эйлера для определения критического значения сжимающей силы в виде |
применима в случае, если гибкость стержня находится в пределах |
(кривая СД на рис. 8.3) |
Рис. 8.3 |
Для малоуглеродистой стали этот диапазон равен |
Л. Эйлер получил формулу для определения теоретической нагрузки (Эйлерова нагрузка), при которой происходит потеря устойчивости стержня. Формула Эйлера: , где Е – модуль Юнга; – минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня (очевидно, что при потере устойчивости изгиб стержня произойдет в плоскости наименьшей изгибной жесткости); – коэффициент приведения длины, зависящий от формы потери устойчивости; l – длина стержня. Произведение - приведенная длина стержня. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА ДЛЯ ШАРНИРНО-ОПЕРТОГО СТЕРЖНЯ, СЖАТОГО ПО КОНЦАМДля шарнирно опертого стержня, сжатого по концам, формула Эйлера для определения критической нагрузки: (коэффициент приведения длины ). Основной случай потери устойчивости – случай, когда при закреплении концов стержня и приложении нагрузки форма потери устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 12.2, а). Некоторые другие способы закрепления концов стержня (нагрузка по-прежнему приложена по торцам) легко могут быть приведены к основному случаю потери устойчивости путем сопоставления формы изогнутой оси с формой потери устойчивости шарнирно опертого стержня. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА ДЛЯ СТЕРЖНЯ С ЗАЩЕМЛЕННЫМ И СВОБОДНЫМ КОНЦАМИПри потере устойчивости стержень с жестко защемленным одним и свободным другим концом изогнется, как показано на (рис. 12.2, б). Форма потери устойчивости этого стержня представляет собой четверть синусоиды. Приведенная длина равна (полуволна синусоиды имеет длину ), а эйлерова сила в четыре раза меньше, чем для основного случая. Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами: . ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА ДЛЯ СТЕРЖНЯ С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КОНЦАМИДля стержня, оба конца которого жестко защемлены, форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимает половину длины стержня (рис. 12.2, в). Поэтому приведенная длина стержня равна (), а формула эйлеровой нагрузки . Критической () принято называть истинную, а эйлеровой () – теоретическую нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости стержня. Формула Эйлера получена из предположения, что в момент потери устойчивости напряжения сжатия в стержне не превышают предела пропорциональности : . Модуль Юнга (Е) в формуле Эйлера свидетельствует о том, что вплоть до момента потери устойчивости выполнялся закон Гука. Если потеря устойчивости происходит при напряжении меньшем, чем , то . Для стержней, теряющих устойчивость при напряжении, превышающем предел пропорциональности (), использование формулы Эйлера принципиально неправильно и крайне опасно, поскольку критическая нагрузка (истинная нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости) меньше эйлеровой нагрузки: . ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРАПределы применимости формулы Эйлера можно установить, предварительно введя понятие гибкости стержня. Определим эйлеровы напряжения, исходя из формулы Эйлера:
. Здесь – минимальный радиус инерции; –гибкость сжатого стержня: . Величину в правой части неравенства обозначим и назовем предельной гибкостью. Тогда . В отличие от гибкости стержня, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала и не зависит от размеров. Предельная гибкость– постоянная для данного материала величина. Например, для стали Ст. 3 . Используя понятие предельной гибкости, пределы применимости формулы Эйлера можно представить в виде: . Формула Эйлера дает истинное значение нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости стержня в случае, когда гибкость рассчитываемого стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен. |