Расчет на прочность при изгибе

 РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

Расчет балок на прочность обычно ведется по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. Обозначая эти напряжения , получаем условие прочности в виде

Здесь  - допускаемое напряжение, зависящее в основном от материала балки и ее назначения (подробнее о выборе допускаемых напряжений см. § 8.2).

При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, возможны три следующих вида задач, различающихся формой использования условия прочности (41.7):

а) проверка напряжений (проверочный расчет);

б) подбор сечения (проектный расчет);

в) определение допускаемой нагрузки (определение грузоподъемности).

Методика решения этих задач для балок из пластичных и хрупких материалов различна, так как балки из пластичных материалов одинаково работают на растяжение и сжатие, а из хрупких материалов лучше работают на сжатие, чем на растяжение. Это влияет на применяемые формы поперечных сечений балок и на способ определения опасного сечения.

Известные различия имеются также в расчетах балок постоянного по всей длине и переменного поперечного сечения.

Кроме того, следует иметь в виду, что в некоторых (сравнительно редких) случаях расчет на прочность только по наибольшим нормальным напряжениям, действующим в поперечном сечении балки, недостаточен, и приходится дополнительно производить проверку прочности также по главным напряжениям, возникающим в наклонных сечениях, и по максимальным касательным напряжениям.

Рассмотрим основные случаи расчетов на прочность при прямом изгибе.

Балки постоянного поперечного сечения из пластичных материалов

Пластичные материалы одинаково сопротивляются как растяжению, так и сжатию: в связи с этим для них Поэтому балки из пластичных материалов обычно имеют поперечные сечения, симметричные относительно своих нейтральных осей, при которых в балках возникают одинаковые наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения.

В рассматриваемом случае опасным является то поперечное сечение балки, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент Мтах. Для этого сечения и составляется условие прочности. Опасными являются точки опасного поперечного сечения, наиболее удаленные от нейтральной оси.

Нормальные напряжения в этих точках определяются [в соответствии с выражением (21.7)] по формуле

Здесь для упрощения индекс  при М и W не указан.

Заметим, что в крайних точках поперечного сечения касательные напряжения равны нулю и, следовательно, напряжения <тшах, определяемые по формуле (42.7), являются главными.

Подставив значение атзх из выражения (42.7) в условие прочности (41.7), получим формулу для проверки напряжений (формулу проверочного расчета):

Следует учесть, что в некоторых случаях для балок из пластичных материалов все же применяются сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. Если балка имеет такое сечение, то в формулу (43.7) надо подставить меньший из двух осевых моментов сопротивления. Например, при сечении, показанном на рис. 49.7,

При выполнении условия (43.7) или при незначительном превышении максимальных рабочих напряжений над допускаемыми можно считать, что прочность балки обеспечена.

Рис. 49.7

Для подбора сечения балки (проектного расчета) определяется требуемая величина момента сопротивления

В зависимости от выбранной (или заданной) формы поперечного сечения балки (прямоугольная, круглая, двутавровая и т. д.) размеры сечения подбираются так, чтобы его момент сопротивления равнялся требуемой величине или незначительно превышал ее. Если, например, проектируется деревянная балка круглого сечения, то ее необходимый диаметр

так как для круглого сечения

Если проектируется балка прямоугольного сечения с отношением сторон прямоугольника  то

откуда

Подбор стальных балок прокатного профиля производится с помощью таблиц сортамента, в которых указаны моменты сопротивления их сечений.

Размеры поперечных сечений сложной формы обычно определяются путем последовательных попыток. Для этого ориентировочно назначают размеры сечения и подсчитывают момент его сопротивления. Если он оказывается меньше требуемого, то некоторые размеры сечения увеличивают; а если больше то уменьшают. Это производят до тех пор, пока момент сопротивления выбранного сечения окажется примерно равным требуемому моменту сопротивления.

Следует стремиться к тому, чтобы подобранное сечение было возможно более рациональным по расходу материала, т. е. таким сечением, для которого отношение  момента сопротивления сечения к его площади имеет возможно большее значение.

Рис. 50.7

Поэтому, подбирая сечение, надо добиваться того, чтобы при минимальной его площади (а следовательно, и наименьшей затрате материала) получить наибольший момент сопротивления.

Для этого следует возможно большую часть площади поперечного сечения располагать как можно дальше от нейтральной оси.

На рис. 50.7 показаны пять поперечных сечений балки, имеющих одинаковые площади; каждое сечение состоит из одного листа и четырех неравнобоких уголков. В связи с тем, что площади всех сечений одинаковы, наиболее рациональным из них является то, у которого момент сопротивления W больше. Высоты h всех сечений и расстояния утах от нейтральной оси  каждого сечения до наиболее удаленной точки одинаковы. Поэтому момент сопротивления  больше у того сечения, у которого больше момент инерции 

Сечения на рис. 50.7 расположены в порядке возрастания их моментов инерции, моментов сопротивления и, следовательно, в порядке возрастания прочности балок. Наименьший момент инерции, а следовательно, также наименьший момент сопротивления, имеет сечение, показанное на рис. 50.7, а; у него значительная часть площади (широкие полки уголков) расположена около нейтральной оси , а потому она оказывает очень слабое влияние на величину момента инерции сечения, равную 

Наибольший момент инерции имеет сечение, показанное на на рис. 50.7, д, у которого широкие полки уголков расположены на расстоянии от нейтральной оси z, примерно равном  это сечение является наиболее рациональным из показанных на рис. 50.7.

На рис. 51.7, а показано прямоугольное поперечное сечение балки, условно расчлененное на два тавровых и восемь прямоугольных элементов, обозначенных соответственно цифрами 1 и 2. При той же площади F и той же высоте h двутавровое сечение, изображенное на рис. 51.7, б, состоящее из тех же элементов, имеет значительно большие моменты инерции и момент сопротивления (а следовательно, обладает большей прочностью).

Рис. 51.7

Еще более рациональным является двутавровое сечение с такой же площадью F, но более высокое, показанное на рис. 51.7, в, так как у него основная часть материала удалена от нейтральной оси z на расстояние значительно большее, чем у сечений, изображенных на рис. 51.7, а, б.

Рассмотрим теперь балку, составленную из двух прямоугольных брусьев. Если при изгибающем моменте, действующем в вертикальной плоскости, расположить эти брусья рядом друг с другом, как показано на рис. 52.7, а, то момент сопротивления составного сечения

Если же один из этих брусьев установить над другим (рис. 52.7,б) и прочно соединить их между собой, то момент сопротивления составного сечения

т. е. будет в два раза больше, чем в первом случае.

Таким образом, при одинаковой площади поперечного сечения сопротивляемость балки изгибу во втором случае вдвое больше, чем в первом, т. е. второе сечение является более рациональным.

Соединение деревянных брусьев друг с другом в случае, показанном на рис. 52.7, б, можно выполнить путем их склеивания или с помощью шпонок, или иным способом. Это соединение препятствует смещению одного бруса относительно другого в направлении оси балки и, следовательно, воспринимает касательные усилия, возникающие по плоскости  соприкасания обоих брусьев.

При определении допускаемой на балку нагрузки (грузоподъемности балки) значение ординаты эпюры изгибающих моментов, наибольшее по абсолютной величине, выраженное в виде функции заданной нагрузки , приравнивается значению допускаемого изгибающего момента  определяемому из выражения

Из полученного таким путем равенства находится допускаемое значение нагрузки.

Рассмотрим теперь те случаи, когда расчет балки на прочность только по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в ее опасном поперечном сечении, недостаточен.

Рис. 52.7

При короткой балке (или независимо от ее длины если она нагружена большими сосредоточенными силами, приложенными на малых расстояниях от опор) поперечные силы могут иметь значительную величину, в то время как изгибающие моменты могут оказаться сравнительно небольшими. В этих случаях следует проверить максимальные касательные напряжения в том поперечном сечении, в котором поперечная сила имеет наибольшее значение. Эти напряжения не должны превышать допускаемых касательных напряжений, т. е. должно удовлетворяться условие прочности по касательным напряжениям:

Для стальных балок обычно принимают

Для деревянных балок расчет на прочность по максимальным касательным напряжениям может иметь решающее значение, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон, а потому даже сравнительно небольшие касательные напряжения, возникающие в нейтральном слое деревянных балок (значительно меньшие нормальных напряжений в поперечных сечениях), могут вызвать их разрушение.

Для деревянной балки прямоугольного сечения условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

где  - допускаемое напряжение на скалывание дерева вдоль волокон.

Аналогично для деревянной балки круглого сечения

Допускаемое напряжение  для сосны составляет примерно 

При расчете двутавровых балок возможны случаи, когда главные напряжения, возникающие в наклонных сечениях, больше максимальных напряжений в поперечном сечении. Действительно, как следует из формулы Журавского (28.7), в таких балках касательные напряжения в точках поперечного сечения стенки в месте примыкания ее к полке могут быть значительны, так как статический момент полки относительно нейтральной оси велик, а толщина стенки даже в очень высоких балках невелика (10—20 мм).

Рис. 53.7

В то же время нормальные напряжения в этих точках поперечного сечения немного меньше максимальных, и в результате главные напряжения оказываются больше (по абсолютной величине), чем  (рис. 53.7). В этих же точках максимальные касательные напряжения также могут иметь большие  ения, чем наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении балки (в точках нейтральной оси).

Дополнительная проверка прочности в рассматриваемых случаях расчета двутавровых балок заключается в сопоставлений наибольших по абсолютной величине главных напряжений и максимальных касательныхнапряжений в указанных точках соответственно с допускаемыми нормальными напряжениями  и допускаемыми касательными напряжениями 

Следует заметить, что необходимость в такой дополнительной проверке прочности определяется не только формой поперечного сечения, но и видом эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Рис. 54.7

Так, например, в случае, показанном на рис. 54.7, следует произвести эту проверку для сечения 1—1, в котором одновременно возникают значительный изгибающий момент (немного меньший максимального) и большая поперечная сила и в котором, следовательно,  могут быть одновременно достаточно велики.

Рис. 55.7

В случае, представленном на рис. 55.7, такая проверка обычно нецелесообразна, так как в тех сечениях, где изгибающие моменты значительны, поперечные силы невелики и, наоборот, там, где возникают большие поперечные силы, малы изгибающие моменты.

Проектный расчет по действующим в наклонных сечениях главным и максимальным касательным напряжениям выполняется как проверочный, после того, как требуемый момент сопротивления поперечного сечения определен по формуле (44.7) и выбраны размеры сечения.

В случае неудовлетворительных результатов проверочного расчета надо увеличивать размеры сечения и повторять расчет.

Балки постоянного поперечного сечения из хрупких материалов

В качестве материала в машиностроении часто применяется серый литейный чугун. Изготовляемые из него детали во многих случаях испытывают изгибающие нагрузки. Как известно, чугун хорошо сопротивляется сжатию и значительно хуже — растяжению (предел прочности на растяжение серого чугуна в 3—5 раз меньше предела прочности на сжатие).

Рис. 56.7

Поэтому целесообразно, чтобы наибольшие растягивающие напряжения в чугунном брусе были значительно меньше наибольших сжимающих напряжений. Очевидно, что это требование может быть выполнено при брусьях с поперечными сечениями, несимметричными относительно нейтральных осей.

Некоторые формы таких поперечных сечений показаны на рис. 56.7, а, б, в; на рис. 56.7, г показана эпюра нормальных напряжений, построенная для случая, когда изгибающий момент отрицателен; при этом наибольшие растягивающие напряжения меньше наибольших сжимающих напряжений (абсолютной их величины), т. е. сечение расположено рационально.

При балке из хрупкого материала составляют два условия прочности:

где

Балки переменного поперечного сечения

В балке постоянного сечения, размеры которого подобраны по наибольшему изгибающему моменту, материал используется нерационально. Действительно, только в крайних (наиболее удаленных от нейтральной оси) точках опасного поперечного сечения такой балки нормальные напряжения равны допускаемым; во всех остальных точках балки нормальные напряжения меньше допускаемых. Более рациональными (по расходу материала) могут быть балки переменного сечения.

Рис. 57.7

Проверочный расчет балки переменного сечения, в отличие от расчета балки постоянного сечения, заключается в проверке выполнения условия прочности для нескольких сечений, так как опасным в балке переменного сечения может оказаться не то поперечное сечение, в котором действует наибольший (по абсолютной величине) изгибающий момент, а какое-либо другое.

При проектном расчете балки переменного сечения размеры некоторых ее поперечных сечений устанавливаются в соответствии с величинами действующих в них изгибающих моментов (аналогично тому, как это делается для балки постоянного сечения).

Определение допускаемой нагрузки для балки переменного сечения имеет некоторые особенности. Для ряда поперечных сечений балки определяются значения допускаемых изгибающих моментов  По этим значениям строится эпюра  Затем строится эпюра изгибающих моментов от нагрузки заданного характера, но некоторой произвольной величины. Путем сопоставления обеих эпюр устанавливается допускаемая величина заданной нагрузки.

Для примера определим допускаемую нагрузку для балки прямоугольного сечения, изображенной на рис. 57.7, а. Высота балки А постоянна по всей ее длине, а ширина изменяется по закону прямой от  на левом конце балки до  — на правом конце (рис. 57.7,б). Посредине пролета балка нагружена силой Р.

Допускаемый изгибающий момент для сечения балки с абсциссой 

Из этого выражения видно, что момент  изменяется по длине балки по линейному закону (так же, как и момент сопротивления поперечного сечения).

Эпюра  показана на рис. 57.7, в.

Строим эпюру изгибающих моментов от силы  Эта эпюра показана на рис. 57.7, г.

Сопоставляя друг с другом эпюры  и М (от  (рис. 57.7, в, г), устанавливаем, что эпюра изгибающих моментов от допускаемого значения силы  имеет вид, показанный пунктиром на рис. 57.7, в. При этом изгибающий момент посредине пролета равен допускаемому изгибающему моменту  т. е.

Так как сила  вызывает в этом сечении момент, равный 1/4, то допускаемое значение силы Р

При полученном значении силы [Р] ординаты эпюры изгибающих моментов, вызванных ее действием (рис. 57.7, д), нигде не будут больше ординат эпюры  в одном сечении (посредине пролета) ординаты этих эпюр одинаковы.

Можно запроектировать такую балку, во всех поперечных сечениях которой наибольшие нормальные напряжения, возникающие от заданной нагрузки, будут одинаковы. Такая балка называется балкой (или брусом) равного сопротивления при изгибе.

Рассмотрим балку прямоугольного сечения, заделанную одним концом и нагруженную на другом конце силой Р (рис. 58.7, а). Наибольший изгибающий момент возникает в опорном сечении балки; он равен

В других сечениях изгибающий момент

где  — расстояние от свободного конца балки до рассматриваемого сечения.

Установим размеры поперечных сечений заданной балки так, чтобы наибольшее нормальное напряжение в каждом ее поперечном сечении равнялось допускаемому напряжению  Для этого необходимо, чтобы момент сопротивления W сечения с абсциссой 

Для прямоугольного сечения момент сопротивления

Подставим в формулу (50.7) выражения W и М:

откуда

Запроектируем балку (рис. 58.7, а) равного сопротивления постоянной высоты Н, т. е. примем . Тогда из условия (51.7)

где

Рис. 58.7

Следовательно, ширина поперечного сечения балки прямо пропорциональна абсциссе этого сечения (рис. 58.7,б). Запроектируем теперь балку (рис. 58.7, а) равного сопротивления постоянной ширины b, т. е. примем . Из условия (51.7) для этого случая

где

Следовательно, высота поперечного сечения балки изменяется вдоль балки по закону параболы (рис. 58.7, в).

Балки равного сопротивления изгибу, показанные на рис. 58.7, б, в, имеют в зонах, расположенных около левых концов, весьма малые площади F поперечных сечений (при х = 0 площади F = 0). Поэтому в этих зонах балок от поперечной силы  возникнут большие касательные напряжения, превышающие значение 

Наибольшие касательные напряжения в поперечных сечениях балок прямоугольного сечения  [см. формулу (30.7)].

Приравняв их допускаемым напряжениям  найдем величину необходимой площади поперечного сечения:

Для того чтобы балки, изображенные на рис. 58.7, б,в, удовлетворяли условию прочности не только по нормальным напряжениям, но и по касательным, размеры их сечений в зонах левых концов необходимо так увеличить, чтобы площади поперечных сечений нигде не были меньше  Балки с такими усиленными левыми концами показаны на рис. 59.7, а, б.

Рис. 59.7

Аналогично можно запроектировать балки равного сопротивления при ином характере их закрепления и другом виде внешней нагрузки.