При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находитсяслой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией илинейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаютсяплоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1)   Выполняется гипотеза плоских сечений.   2)   Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия.  3)   Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.   4)   Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.   5)   Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.   6)   Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде:  (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения. 

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок  длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где  -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

 Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта  формула выражаетгеометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя. 

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3),т.е.  нормальные напряжения при изгибе по высоте сеченияраспределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим  (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь  как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение  - это осевой момент инерции сечения относительно оси х  - Iх. Его размерность см4, м4

Тогда ,откуда (4) ,где - это кривизна изогнутой оси балки, а - жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5) 

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение  (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см3, м3. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения:  (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения,незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгибатеория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии. 

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что  этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие  (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении —центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у  равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр  прямом изгибе взаимно перпендикулярны. 

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0

Касательные напряжения

При поперечном изгибе в сечении балки помимо изгибающего момента () возникает поперечная сила (). Поэтому в поперечном сечении при поперечном изгибе наряду с нормальными напряжениями () возникают и касательные напряжения ().

На основании закона парности касательные напряжения возникают и в продольных сечениях балки. Вследствие этого при поперечном изгибе отмечаются сдвиги продольных слоев балки относительно друг друга.

При поперечном изгибе гипотеза плоских сечений нарушается, поскольку поперечные сечения балки искривляются (рис. 7.9).

Исследования показали: если балка является достаточно длинной, влияние искривления поперечного сечения на значения нормальных напряжений невелико, поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений при изгибе пренебрегают, формула нормальных напряжений при поперечном изгибе: .

Проанализируем формулу Журавского:

Поперечная сила () для конкретного сечения и момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси являются постоянными величинами, поэтому касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по тому же закону, что и отношение статического момента отсеченной части поперечного сечения () к ширине поперечного сечения (), в котором они вычисляются.

Во всех точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной линии (по всей ширине сечения ), касательные напряжения при поперечном изгибе одинаковы.

В самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения касательные напряжения при поперечном изгибе равны 0, поскольку в этом случае .

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, расположенных на нейтральной оси. Напомним, что в этих точках нормальные напряжения равны нулю