Дифференциальные зависимости при изгибе

Дифференциальные зависимости при изгибе

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского, названной по имени русского инженера-мостостроителя Д. И. Журавского (1821-1891 г.г.). 
Эта теорема формулируется так:
Поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.

Рассмотрим балку (рис. 1). Начало координат возьмем на левом конце балки, а ось z направим вправо (в дальнейшем это будет иметь существенное значение).
На одном из участков балки возьмем сечение с текущей координатой z и запишем уравнение изгибающего момента:

М_и = R_Az + m – F₁ (z – a) + q(z – b)² / 2.

Продифференцировав это выражение по координате z, получим:

dM_и / dz = R_А – F₁ + q(z – b).

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть поперечная сила Q в сечении z. Таким образом:

dM_и / dz = Q;

теорема доказана.
Если уравнение изгибающих моментов (для участков с равномерно распределенной нагрузкой) продифференцировать вторично, то получим:

d²M_и / dz² = dQ / dz = q,

т. е. вторая производная от изгибающего момента или первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.
Как известно из высшей математики, по знаку второй производной функции можно судить о выпуклости или вогнутости кривой; соответствующее правило следует использовать при построении эпюр.

***

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки поперечных сил и изгибающих моментов строят эпюры, которые дают возможность определить предположительно опасное сечение балки и установить значения поперечной силы и изгибающего момента в этом сечении. 
Слово "эпюра" в переводе с французского (epure) означает "график", "чертеж".

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить двумя способами.

Первый способ заключается в том, что сначала составляют аналитические выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка, как функций координаты z поперечного сечения:

Q = ƒ1(z);      М_и = ƒ²(z).

Затем по полученным уравнениям строят эпюры.

Второй способ заключается в построении эпюр по характерным точкам и значениям поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков. Применяя этот способ, в большинстве случаев можно обойтись без составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов. 
При наличии некоторого опыта второй способ предпочтительнее.

***



Правила построения эпюр при изгибе

При построении эпюр следует руководствоваться приведенными ниже правилами:

1. Эпюру моментов строят на сжатом волокне, т. е. положительные моменты (и положительные поперечные силы) откладывают вверх от оси, а отрицательные – вниз;

2. Пользуясь принципом смягченных граничных условий (принципом Сен-Венана), будем полагать, что в сечении, где приложена сосредоточенная сила (или изгибающий момент), значение поперечной силы (или момента) меняется скачкообразно, причем скачек равен модулю этой силы (или момента);

3. Правильность построения эпюр следует проверять с помощью теоремы Журавского.
Как известно из математики, если М_и =ƒ(z), то

dM_и /dz = tg α,

где α – угол, который составляет касательная к эпюре моментов с положительным направлением осиz.
Согласно теореме Журавского,

Q = dM_и / dz = tg α

(полагаем масштабы М_и и z численно равными единице), следовательно, если угол α острый, то Q > 0 и изгибающий момент на участке возрастает, если угол αтупой, то Q < 0 и изгибающий момент на участке убывает; если α = 0 на всем участке, то М_и = const, Q = 0 и на этом участке возникает чистый изгиб; 
если α = 0 в одной точке эпюры моментов, то в этом сечении Q = 0, а изгибающий момент имеет экстремальное (максимальное или минимальное) значение. 
В сечении, где на эпюре поперечных сил имеется скачок, на эпюре изгибающих моментов будет резкое изменение направления касательной. 

Чтобы правила знаков для изгибающих моментов и поперечных сил не противоречили знакам, полученным на основании теоремы Журавского, при проверке эпюр следует ось z мысленно направлять всегда слева направо.

4. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра моментов представляет собой наклонную прямую, а эпюра поперечных сил – прямую, параллельную оси z.

5. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов представляет собой параболу, а эпюра поперечных сил – наклонную прямую.

6. На конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не приложена пара сил.

7. При построении эпюры для консольных балок начало координат удобно брать на конце консоли, что нередко дает возможность обойтись без определения опорных реакций. 
В сечении, соответствующем заделке, поперечная сила равна реактивной силе, а изгибающий момент – реактивному моменту.

Пример построения эпюры поперечных сил и изгибающих моментов приведен на рис. 2. 
Начало координат поместим на левом конце балки, а ось zнаправим вправо. Данная балка состоит из двух участков. Составив уравнение моментов относительно опор, определим реакции связей (опор). После этого приступаем к построению эпюры поперечных сил, а затем – к построению эпюры изгибающих моментов. 
Поскольку к балке не приложена распределенная нагрузка, эпюра сил будет параллельна оси z, а эпюра моментов состоит из наклонных линий, для построения которых достаточно нанести значения моментов для граничных сечений на участках бруса.

На рис.3 представлен пример построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балке, к которой приложена распределенная нагрузка. 
Как видно из рисунка, эпюра поперечных сил в этом случае – наклонная прямая, эпюра изгибающих моментов – парабола.