Внутринние силовые факторы при изгибе

Рассмотрим, например, балку (рис. 7.1, а), нагруженную вертикальной сосредоточенной силой (P). Для определения внутренних усилий при прямом изгибе, возникающих в поперечном сечении, расположенном на расстоянии z от места приложения нагрузки, воспользуемся методом сечений.

 Разрежем мысленно балку в интересующем месте на две части.

Отбросим левую часть балки, нагруженную силой P.

Заменим действие отброшенной левой части балки на оставленную правую часть внутренними силами.

Внутренние усилия возникают во всех точках поперечного сечения балки и распределены по неизвестному закону. Не имея возможности определить эти внутренние усилия для каждой точки сечения, заменяем их статически эквивалентными внутренними силовыми факторами, приложенными в центре тяжести поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы определяются из условия равновесия рассматриваемой части балки. Однако можем внутренние силовые факторы найти и непосредственно, как действие отброшенной левой части на правую часть. Видно, что часть балки, нагруженная силой P, стремится изогнуть рассматриваемую нами правую часть выпуклостью вниз, а также пытается произвести срез. Следовательно, в сечении должны возникнуть поперечная сила и изгибающий момент .

Осуществим параллельный перенос силы P в центр тяжести поперечного сечения балки. По правилам теоретической механики мы должны добавить момент, равный (рис. 7.1, б).

При прямом изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора:

изгибающий момент, численно равный алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (в рассмотренном нами случае изгибающий момент равен: );

поперечная сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть балки (в нашем случае поперечная сила равна: ).

Поперечный изгиб - изгиб, при котором в поперечном сечении балки возникают и изгибающий момент, и поперечная сила. Если поперечная сила не возникает, изгиб называется чистым изгибом

Под влиянием внешей нагрузки реальные тела деформируются, в отличие от абсолютно твердого тела, изучаемого в курсе теоретической механики. При этом между рядом раположенными частицами тела воникают, по законам физики, внутренние силы. Если мысленно рассечь деформированный брус плоским перечным сечением на две части и привести внутренние силы, действующие со стороны одной части на другую - к центру тяжести (площади) поперечного сечения, получим ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР R и ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ M системы этих внутренних сил. Эти величины (R и M) имеют такой смысл:
Если мысленно заменить внутренние силы, действующие в сечении, силой R и моментом (парой сил) M (приложив их в центре тяжести поперечного сечения), то равновесие отсеченной части тела не нарушится. То есть R и M (совместно) являются статическим эквивалентом системы внутренних сил, действующих в сечении.

 

Рис. 1,2,3: Внутренние силовые факторы (ВСФ) в поперечном сечении бруса

Проекции главного вектора R и главного момента M на ГЛАВНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ОСИ поперечного сечения и ПРОДОЛЬНУЮ ось бруса называются ВНУТРЕННИМИ СИЛОВЫМИ ФАКТОРАМИ (ВСФ) в поперечном сечении.   ВСФ (см рис 1) обозначаются: 

• Проекция R на ось Z т е N называется продольной силой.
• Проекция R на ось Y т е Q_Y называется поперечной силой.
• Проекция R на ось X т е Q_X тоже называется поперечной силой.
• Проекция M на ось Z т е M_Z называется крутящим моментом.
• Проекция M на ось Y т е M_Y называется изгибающим моментом (в горизонтальной плоскости XZ ).
• Проекция M на ось X т е M_X тоже называется изгибающим моментом (в вертикальной плоскости YZ ).

Примечание:
Существует два способа изображения пары сил:
1. В виде вектора - как показано на рис. 2
2. В виде пары сил.
Чтобы перейти от одного способа к другому применяется ПРАВИЛО БУРАВЧИКА (см рис 3)

(Пример вычисления величины ВСФ и построения эпюр см здесь)

Знаки ВСФ. Дифференциальные зависимости при изгибе.

В качестве иллюстрации понятия "внутренние силовые факторы" рассмотрим пример - балку, к которой приложена нагрузка, действующая в вертикальной плоскости (плоскость YZ - см рис 1,2, 4.1). Так как продольная ось Z балки и внешняя нагрузка q находятся в одной плоскости (YZ) и реакции опор A и B - Y_A, Y_B - в этой же плоскости, то задача является плоской и можно изобразить расчетную схему в плоскости рисунка (см рис 4.2, 4.3, 4.4). 
Выделим двумя бесконечно близкими друг к другу (расстояние dz) поперечными сечениямим тонкий элемент балки (см 4.1, 4.2, 4.3, 4.4) и рассмотрим его равновесие под действием ВСЕХ приложенных к нему внешних сил.

• Имеется в виду, что мы мысленно вырезали элемент из балки, заменив действие внутренних сил, действовавших со стороны левой и правой отброшенных частей статическими эквивалентами - внутренними силовыми факторами (Q,M - слева, Q+dQ, M+dM - справа.)

• Поэтому равновесие этого элемента (если оно было) - не нарушится. Но было ли равновесие? Конечно, потому что в сопротивлении материалов рассматриваются, как правило, неподвижные (покоящиеся) конструкции и их элементы. Из курса теоретической механики известно, что если тело находится в состоянии покоя (или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы координат) то система внешних сил, приложенных к этому телу, взаимно уравновешена.

• Обратите внимание, что ВСФ, приложенные к левой и правой границам отсекаемого элемента ВЗАИМНО ПРОТИВОПОЛОЖНЫ по направлению. Поэтому никак не возможно для ВСФ - поперечной силы Q и изгибающего момента M принять правила знаков + - , установленные в статике для сосредоточенных сил и пар сил. Правила знаков для ВСФ рассмотрим позже. Естественно, что в общем случае мы допускаем возможность изменения Q и M, поэтому к правой границе элемента прикладываем ВСФ: Q+dQ и M+dM. Остальные ВСФ (если они есть) не рассматриваем, так как они не входят в уравнения равновесия, которые будут рассмотрены.

• Рассмотрим уравнения равновесия отсеченного элемента с целью получить зависимости между q, Q и M (см рис 4.4). 
  Формула (2) получена из ф. (1), а формула (4) - из ф. (3) - с учетом того, что dz² - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем dz и может быть удалена.

Знаки ВСФ

В сопротивлении материалов принято следующее ПРАВИЛО ЗНАКОВ для ВСФ.:

• Продольная сила N считается положительной, если она направлена в сторону ВНЕШНЕЙ нормали к сечению, то есть РАСТЯГИВАЕТ элемент, показанный на рис 4.4 и отрицательной, если она СЖИМАЕТ элемент.
• Поперечная сила Q_Y (при расчете балок и плоских рам она обычно обозначается просто Q) считается положительной, если она направлена в сторону внешней нормали к сечению, ПОВЕРНУТОЙ на 90^o ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ.
• Изгибающий момент M_X считается положительным (для БАЛОК и горизонтальных участков РАМ), если он деформирует продольную ось бруса выпуклостью вниз (т е сжатые продольные "волокна" расположены сверху, а растянутые - снизу - см рис 5). В противном случае (выпуклостью вверх, сжатые волокна внизу, растянутые - вверху) изгибающий момент считается отрицательным. Здесь: ось X перпендикулярна плоскости рисунка 4.4 и проходит через точку С - центр тяжести (площади) поперечного сечения. При расчете балок и плоских рам M_X обычно обозначается просто M.
• Все ВСФ, показанные на рис. 4.4 ПОЛОЖИТЕЛЬНЫ. И в дальнейшем - неизвестные ВСФ будем предполагать ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ. Тогда полученные в результате решения значения (включая знак) легко понять.

Эпюры ВСФ

График зависимости величины какого-либо ВСФ от координаты z поперечного сечения, в котором действует этот ВСФ называется ЭПЮРОЙ. Эпюры имеют большое значение в расчетах на прочность, так как позволяют легко определить сечение, в котором брус максимально нагружен (если поперечное сечение одинаково по всей длине бруса). Такое сечение называется ОПАСНЫМ сечением.