Лекция № 18. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции 
, 
и 
, можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.
При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции 
и 
всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент
может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать 
и 
; для них
Найдем, под каким углом 
наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.
Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.
В известном выражении для перехода от осей yz к осям 
, для центробежного момента инерции дадим углу 
значение 
; тогда оси 
и 
, совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:
или
откуда:
|
|
(1) |
Этому уравнению удовлетворяют два значения 
, отличающиеся на 180°, или два значения 
, отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси 
и 
, для которых 
.
Пользуясь этой формулой, можно по известным 
, 
и 
получить формулы для главных моментов инерции
и 
. Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения
и 
если вместо 
подставить 
|
|
(2) |
Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является 
, другим 
.
Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения 
. Выражая 
и 
через 
и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену 
из формулы (1):
Заменяя здесь из формулы (1) дробь 
на
получаем
|
|
(3) |
К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).
За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси 
и 
; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (
). Обозначим угол, составленный осью 
, (Рис.2) с главной осью 
, через 
. Для вычисления 
, 
и 
, переходя от осей 
и 
нужно в ранее найденных выражениях для 
, 
и 
, заменить угол 
через 
, а 
, 
и 
— через 
, 
и 
. В результате получаем:
По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных 
и касательных 
напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла 
выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:
Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты 
, 
и 
после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла 
и вычислить главные центральные моменты инерции 
и 
по формулам (14.18).
Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.
Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси 
(Рис.2), наклоненной к 
под углом 
:
Зная же центральный момент инерции 
, можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси 
, проходящей на расстоянии 
(рис.2) от центра тяжести:
Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы 
мы уже имели дело с интегралом
, представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.
Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.
Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей 
и 
и центробежный момент его относительно тех же осей.
Рис.3. Пример расчета моментов инерции.
Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:
Центральные моменты относительно повернутых осей 
и 
равны:
Центробежный момент инерции относительно осей 
и 
равен:
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей 
и 
равны:
Моменты инерции относительно осей 
и 
равны:
Центробежный момент инерции равен:
Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.
Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось 
, и начнем ее вращать, т. е. менять угол 
; при этом будет изменяться величина
Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу 
, при котором производная 
обращается в нуль. Эта производная равна:
Подставляя в написанное выражение 
и приравнивая его нулю, получаем:
отсюда
Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то
Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если
то 
Следовательно, главные центральные оси инерции — это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.
- See more at: http://www.toehelp.ru/theory/sopromat/18.html#sthash.utPwpcwE.dpuf
