.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
_21.gif)
_21.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
_23.gif)
_23.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
_25.gif)
_25.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
Осевым моментом инерции сечения (second moment of area или second moment of inertia) относительно оси x называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадрат их расстояний до данной оси, численно равная интегралу
Ay2dA
И относительно оси y:
Ax2dA где у — расстояние от элементарной площадки dA до оси х (смотри рисунок),
х — расстояние от элементарной площадки dA до оси у.
Полярным моментом инерции сечения относительно данной точки
(называемого полюсом ) называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадрат их расстояний до этой точки:
=A
2dA где
– расстояние от площадки dA до полюса, относительно которой вычисляется полярный момент инерции.
Центробежным моментом инерции сечения относительно осей x и y называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей:
AxydA где x,у — расстояние от элементарной площадки dA до осей х и y (смотри рисунок).
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю. Если взаимно перпендикулярные оси x и y или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Jxy=0.
| Полярный момент инерции относительно какой – либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.
J
=Jx+Jy |
 |
Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей
Формулы для моментов инерции при параллельному переносе осей:
A(y+a)2dA=Jx+2aSx+a2A A(x+b)2dA=Jy+2bSy+b2A A(y+a)(x+b)dA=Jxy+aSy+bSx+abA
Если Sx и Sy равны нулю. Тогда:
Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции
относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции сечения.
Из формул следует, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси сечения, параллельной центральной.
Зависимость между моментами инерции при повороте осей
+Jysin2–Jxysin(2)+Jycos2+Jxysin(2)
и для центробежного момента инерции:
sin(2)+Jxycos(2)
Некоторые свойства моментов инерции сечения
- Размерность – длина4 ( обычно см4)
- Осевой и полярный моменты инерции – величины всегда положительные, так как координаты произвольной площадки входят в формулы в квадрате.
- При повороте осей сумма осевых моментов инерции не изменяется.
Jx1+Jy1=Jx+Jy
- Полярный момент инерции относительно точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку: Jp=Jx+Jy
- Момент инерции составного сечения равен сумме моментов инерции элементов этого сечения.
