16. Линейная замена переменных в квадратичной форме. Преобразование матрицы квадратичн. формы при линейной замене пееменных. Невырожденная л

Сис-ма равенств x₁=q₁₁y₁+...+q_1ny_n...x_n=q_n1y₁+...+q_nny_n - наз-ся линейной заменой переменных в квадратичной форме f(x₁,...,x_n)

$\begin{pmatrix} x_1\\ .\\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} q_{11}...q_{1n}\\ .\\ q_{n1}...q(nn) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1\\ .\\ y_n \end{pmatrix}$ $X=QY$

$f=x^{T}AX=(QY)^{^{^{T}}}AQY=Y^{^{T}}(Q^{^{T}}\cdot A\cdot Q)Y=Y^{^{T}}BY$

Матрица после замены B=Q^TAQ

Линейная замена X=QY наз-ся невырожденной заменой, если $|Q|\neq 0\exists Q^{-1} \; \; \; Y=Q^{-1}X$

Две квадратичные формы наз-ся эквивалентными, если одну можно получить из другой с помощью невырожденной замены $f\sim g$

Канонический вид - это эквивалентн. квадратичная форма содержащая только квадратичные переменные

$f=a_{11}x_1^{2}+a_{22}x_1^{2}+...+a_{nn}x_n^{2}$

$A=\bigl(\begin{smallmatrix} a_{11}\; 0\;0\\ 0\;a_{22}\;0\\ 0\;0\;a_{nn} \end{smallmatrix}\bigr)$