9.Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования в данном базисе. Связь между матрицами линейного в разных базисах.

Пусть V - векторное пр-во над $\mathbb{P}$ линейным преобразованием векторного пр-ва V над $\mathbb{P}$ наз-ся отображение (A) $\mathfrak{A}:V\rightarrow V$ удовлетворяет 1) $\mathfrak{A}(a+b)=\mathfrak{A}(a)+\mathfrak{A}(b)$ 2) $\mathfrak{A}(\alpha a)=\alpha \mathfrak{A}(a)$

Матр. лин. преобр. Пусть e₁,..,е_n - базис вект. пр-ва V, $\mathfrak{A}$ - лин. преобр.

$\mathfrak{A}(e_1)=a_1_1e_1+...+a_1_ne_n \; \; ... \; \; \mathfrak{A}(e_n)=a_n_1e_1+...+a_n_ne_n$

$A=\begin{pmatrix} a_{11}...a_{1n}\\ .\\ a_{n1}...a_{nn} \end{pmatrix}$ матр. лин. преобр $\mathfrak{A}$ в базисе e₁,..,е_n

Связь между матр. лин. преобр. в разных базисах

$e_1...e_n$ - (1) - базис V

$e_1'...e_n'$ - (2) - базис V

$\mathfrak{A}:V\rightarrow V$ лин преобр векторного пр-ва V мы можем найти матричное лин. преобр как в (1), так и во (2) базисе.

$\left\{\begin{matrix} \mathfrak{A}(e_1)=a_{11}'e_{1}'+...+a_{1n}'e_n'\\ \mathfrak{A}(e_n)=a_{n1}'e_{1}'+...+a_{nn}'e_n' \end{matrix}\right.$

$A=\begin{pmatrix} a_{11}'...a_{1n}'\\ .\\ a_{1n}'...a_{nn}' \end{pmatrix}$