Где - средняя из внутригрупповых выборочных дисперсий для непрерывного признака;
- средняя из внутригрупповых дисперсий доли;
— число отобранных серий, — общее число серий;
,
где — средняя -й серии;
— общая средняя по всей выборочной совокупности для непрерывного признака;
,
где — доля признака в -й серии;
— общая доля признака по всей выборочной совокупности.
Однако о величине средней ошибки можно судить лишь с определенной, вероятностью Р (Р ≤ 1). Ляпунов А.М. доказал, что распределение выборочных средних , a следовательно, и их отклонений от генеральной средней, при достаточно большом числе приближенно подчиняется нормальному закону распределения при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.
Математически это утверждение для средней выражается в виде:
а для доли выражение (1) примет вид:
где - есть предельная ошибка выборки , которая кратна величине средней ошибки выборки , а коэффициент кратности — есть критерий Стьюдента ("коэффициент доверия"), предложенный У.С. Госсетом (псевдоним "Student"); значения для разного объема выборки хранятся в специальной таблице.
Значения функции Ф(t) при некоторых значениях t равны:
Следовательно, выражение (3) может быть прочитано так: с вероятностью Р = 0,683 (68,3%) можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средней не превысит одной величины средней ошибки m (t = 1), с вероятностью Р = 0,954 (95,4%) — что она не превысит величины двух средних ошибок m (t = 2) , с вероятностью Р = 0,997 (99,7%) — не превысит трех значений m (t = 3) . Таким образом, вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3%.
В табл. 9.3 приведены формулы для вычисления предельной ошибки выборки .
Таблица 9.3 Предельная ошибка (D) выборки для средней и доли (р) для разных видов выборочного наблюдения
Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность
Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности. При малых объемах выборки эмпирические оценки параметров ( и ) могут существенно отклоняться от их истинных значений ( и ). Поэтому возникает необходимость установить границы, в пределах которых для выборочных значений параметров ( и ) лежат истинные значения ( и ).
Доверительным интервалом какого-либо параметра θгенеральной совокупности называется случайная область значений этого параметра, которая с вероятностью близкой к 1 (надежностью) содержит истинное значение этого параметра.
Предельная ошибка выборки Δпозволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы, которые равны:
Нижняя граница доверительного интервала получена путем вычитания предельной ошибки из выборочного среднего (доли), а верхняя — путем ее добавления.
Доверительный интервал для средней использует предельную ошибку выборки и для заданного уровня достоверности определяется по формуле:
Это означает, что с заданной вероятностью Р, которая называется доверительным уровнем и однозначно определяется значением t, можно утверждать, что истинное значение средней лежит в пределах от ,а истинное значение доли — в пределах от
При расчете доверительного интервала для трех стандартных доверительных уровней Р = 95%, Р = 99% и Р = 99,9%значение выбирается по таблице Стьюдента. Приложения в зависимости от числа степеней свободы . Если объем выборки достаточно велик, то соответствующие этим вероятностям значения t равны: 1,96, 2,58 и 3,29. Таким образом, предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:
Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность в социально-экономических исследованиях имеет свои особенности, так как требует полноты представительности всех ее типов и групп. Основой для возможности такого распространения является расчет относительной ошибки:
где Δ%- относительная предельная ошибка выборки ; , .
Существуют два основных метода распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность: прямой пересчет и способ коэффициентов.
Сущность прямого пересчета заключается в умножении выборочного среднего значения !!\overline
