Системы счисления. Представление чисел в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе счисления.

Система счисления - способ кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. 
Пример непозиционной  системы счисления – римская: несколько чисел приняты за основные (1-I, 5-V, 10-X, 50- L, 100-C, 500-D, 1000-M), а остальные получаются из основных  путем сложения (как VI, VII) или вычитания (как IV, IX). 
К позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается  последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем  значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она  занимает в этой последовательности. Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра  5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение – 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен. Поэтому справедливы равенства (подстрочные индексы применим для  указания, в какой системе счисления записано число):

Двоичная система счисления.

Алфавит двоичной системы счисления состоит из цифр 0 и 1.

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Перевод целых чисел. Пусть требуется найти представление числа 1210 в двоичной системе счисления (задание может быть сформулировано и так: перевести число 12 из десятичной в двоичную систему счисления, или 

где Х заменяет искомое  представление).

Поступаем следующим образом: делим, начиная с 12, каждое  получающееся частное на основание системы, в которую переводим число, то есть на 2. Получаем 

Затем в направлении, указанном стрелкой, начиная с последнего частного (в нашем случае оно всегда будет равно 1), записываемого в старший разряд формируемого двоичного представления, фиксируем все остатки. В итоге получаем ответ:

Перевод десятичных дробей, меньших единицы. Если указанный перевод необходимо осуществить для числа меньше единицы, допустим для 0,25, то схема наших действий изменится:

Для удобства проведем вертикальную линию, отделяющую целую часть от дробной. Умножим, оказавшуюся слева дробную часть на 2. Результат записываем на следующей строке, причем оставляем справа от вертикали столько разрядов, сколько было у исходной дробной части. Так как при этом произведение равно 50, то в разряд слева от вертикали записываем 0. Повторяем процесс умножения на 2 числа, стоящего справа от вертикали. Результат умножения 50 на 2 равен 100. Следовательно, при записи результата в следующую строку схемы справа от вертикали оказываются два нуля, а единица переносится в разряд слева от вертикали. На этом процесс умножения на 2 в данном примере заканчивается, так как мы уже получили точный ответ. Ответ образует число, прочитываемое слева от вертикали в направлении, указанном стрелкой (сверху вниз). Очевидно, что, если продолжать умножение дальше, вы должны были бы умножать на 2 нули справа от вертикали и, следовательно, в каждой строке слева от вертикали записывать  только нули. Эго были бы незначащие нули в получаемой дроби. Поэтому, получив в результате серии умножений на 2 справа от  вертикали одни нули, мы заканчиваем процесс перевода десятичного дробного числа меньше единицы в двоичную систему  счисления и записываем ответ: 

Понятно, что гораздо чаще мы встретим такую исходную десятичную дробь, когда умножение на 2 чисел, стоящих справа от вертикали, не приведет к появлению там одних лишь нулей. Пусть, например, по условию задачи требуется перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,3. Поступаем описанным выше образом:

В этом случае точный ответ не может быть получен, так как процесс перевода приходится оборвать и записать с некоторой заданной точностью приблизительный ответ (конкретно в этом примере до трех знаков после запятой): 

Перевод десятичных дробей больше единицы. В этом случае необходимо, отделив в исходном десятичном числе целую и дробную части, провести для каждой из них независимый перевод в двоичную систему счисления указанным выше способом. Рассмотрим два примера, используя уже полученные результаты:

В примере
а) ответ получен точным, тогда как в примере 
б) из-за приблизительности перевода дробной части окончательный ответ получается также приближенным.

Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную. Это перевод – как бы обратный к изложенному выше. Его наиболее просто осуществить, основываясь на позиционности двоичной  системы счисления. Уже отмечалась правомерность записи двоичного числа в виде суммы степеней основания системы счисления, то есть степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать десятичное значение полученной суммы:

Наконец, остановимся на преимуществах и недостатках использования двоичной системы счисления по сравнению с любой  другой позиционной системой счисления. К недостаткам относится длина записи, представляющей двоичное число. Основные преимущества – простота совершаемых операций, а также возможность осуществлять автоматическую обработку информации,  реализуя только два состояния элементов компьютера.

3) Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной.

Восьмеричная система счисления. Алфавит восьмеричной системы счисления состоит из 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.
8 — это 2 в третьей степени. При переводе в восьмеричную систему двоичное число из трех записывается одной цифрой.

Впереди стоящий 0 ничего   не значит.

Для перевода  из  двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево.

Например, 11011100011=11 011 100 011 и заменить каждую группу одной восьмеричной цифрой   2 2 4 2 и получим 22428.

Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00).

Еще компактней выглядит запись числа в шестнадцатеричной системе счисления.

Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используются привычныецифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита A (10), B (11), C (120, D (13),  E (14), F (15).

Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разрядеозначает 16 (в первой степени), в следующем разряде 16?16 (16 во второй степени)=256, в следующем разряде 1?16 в третьей степени и т.д.

Цифра F,  записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе,  F  в  следующем  разряде означает 15?16 в первой степени в десятичной системе и т.д.        

Число 


16 - это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатеричной системе.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее эквивалент в двоичной системе счисления, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0.

Как осуществить переход  из двоичной системы в шестнадцатеричную?   

Необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатеричной цифрой.