1. Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей методом симметричных составляющих.2.Уравнения электрического состояния и векторная диаграмма катушки с ферромагнитным сердечником.

1.

Проиллюстрируем применение метода к расчету несимметричной системы нагрузок, соединенных звездой с нейтральным проводом, которая питается от симметричного источника через сопротивления Z (рис. 10-8). Поскольку система фазных ЭДС симметричная, то она представляется только через составляющие ЭДС прямой последовательности: 

Рис. 10.8

— составляющие ЭДС обратной и нулевой последовательностей отсутствуют: ,

Системы фазных напряжений и токов приемника несимметричны и выражаются через составляющие прямой, нулевой и обратной последовательностей:

Используя принцип наложения, запишем для составляющих прямой последовательности с помощью второго закона Кирхгофа соотношение для фазы А

Составляющие обратной последовательности удовлетворяют аналогичному условию; однако здесь имеем , т. е.

Обе рассмотренные системы симметричны и, следовательно, не создают падения напряжения в нейтральном проводе, которое обусловлено лишь током в нейтрали İ_З, выражаемым токами нулевой последовательности, İ_З = 3İ₀:

Дополнительные уравнения для определения симметричных составляющих токов и напряжений получим, используя связи между фазными величинами на нагрузке:

,

или

Приведенные шесть уравнений однозначно определяют шесть неизвестных величин: После решения полученной системы можно найти фазные напряжения и токи с помощью записанных выше соотношений.

Видно, что изложенный путь расчета не дает особых преимуществ по сравнению с анализом несимметричной системы непосредственно в фазных координатах, рассмотренным в п. 10.2. Однако необходимо иметь в виду, что при анализе несимметричных режимов в энергетических установках необходимо учитывать взаимные индуктивности между отдельными фазами электрических машин, линий и трансформаторов, что существенно усложняет анализ в фазных координатах. Кроме того, взаимные индуктивности между обмотками фаз электрических машин с вращающимся ротором не удовлетворяют принципу взаимности вследствие несимметрии магнитного поля, обусловленной вращением ротора. Это приводит к тому, что падения напряжения на сопротивлениях указанных элементов, обусловленные симметричными составляющими токов разных последовательностей, неодинаковы, и соотношения для симметричных составляющих напряжений отдельных последовательностей, в отличие от записанных выше, будут иметь вид:

Здесь Z₁, Z₂, Z₀ — сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей, учитывающие взаимные индуктивности и несимметрию магнитного поля вращающихся машин. Эти сопротивления определяются при питании фаз симметричными составляющими токов соответствующей последовательности.

Для электрических машин имеем в общем случае Z₁ № Z₂ № Z₀. Для элементов с неподвижными индуктивно связанными обмотками сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы (Z₁ = Z₂), но отличаются от сопротивления нулевой последовательности Z₀.

Расчет несимметричных режимов в энергетических установках с учетом отмеченных факторов выполняется только с помощью метода симметричных составляющих.

Пример. Определим распределение токов и напряжений при однофазном коротком замыкании фазы А в системе, изображенной на рис. 10.8, но с учетом различных значений сопротивлений отдельных последовательностей элементов цепи. Поскольку при коротком замыкании фазы А значения токов двух других фаз существенно меньше, примемİ_B = İ_C = 0. Третьим условием в месте короткого замыкания является равенство  Используя выражения фазных величин через симметричные составляющие, получим

Из последних двух условий найдем: İ₁a² + İ₂a = İ₁a + İ₂a²  или İ₁ = İ₂. Далее, используя любое из условий для токов фаз В или С, с учетом последнего равенства имеем İ₀ = İ₁.

Таким образом, для определения симметричных составляющих токов и напряжений получим систему уравнений:

Решение этой системы имеет вид:

Для фазных величин найдем:

Очевидно, что попытка решить задачу без применения метода симметричных составляющих в фазных координатах с учетом индуктивных связей, не удовлетворяющих принципу взаимности, привела бы к более сложным вычислениям. 

2.

Уравнения электрического состояния. По аналогии с трансформатором можно написать уравнения второго закона Кирхгофа обмоток статора и ротора. Для статора

(3.15)и для вращающего ротора

(3.16) 

где       -    параметры ротора, приведенные к числу витков статора; – соответственно ЭДС ротора и напряжение рассеяния у вращающегося ротора (см. (3.9) и (3.10)). Уравнения (3.15) и (3.16) являются основой для описания электромагнитных процессов в асинхронном двигателе и его математического моделирования.

Сравнивая между собой уравнение для вторичной обмотки трансформатора

с уравнением для вращающейся обмотки ротора (3.16), можно видеть несоответствие между ними. В уравнении  для трансформатора правая часть имеет три слагаемых, а уравнение (3.16) – два слагаемых.

С учетом (3.17) уравнение (3.16) примет вид 

(3.18)

Если теперь сравнить уравнение для вторичной обмотки трансформатора с (3.18), то из закона сохранения энергии следует, что механическая мощность на валу двигателя соответствует величине .

Схема замещения. Если построить схему замещения двигателя, то она будет иметь вид, аналогичный схеме замещения трансформатора, в которой вместо сопротивления нагрузки  Z′_н будет сопротивление (рис. 3.15).

В этой схеме величина   равна сопротивлению,  на котором при токе  I′₂рассеивается электрическая мощность  , равная мощности на валу двигателя, т.е.

где - угловая скорость ротора.

Векторная диаграмма фазы двигателя при этом оказывается аналогичной векторной диаграмме фазы трансформатора.

Формула  тока. По схеме замещения (рис. 3.15), если пренебречь током холостого хода I_x , можно определить ток I_x , потребляемый двигателем из сети: