1.
1. Аналитический способ
Для тока
(2.1)
i(t) = Im sin(ωt + ψi),
для напряжения
(2.2)
u(t) = Um sin (ωt +ψu),
для ЭДС
(2.3)
e(t) = Em sin (ωt +ψe),
В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:
Im, Um, Em – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψi, ψu, ψe – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T; Т – период.
Величины i, Im – измеряются в амперах, величины U, Um, e, Em – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψi, ψu, ψe могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψi, ψu, ψeзависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.
2. Временная диаграмма
Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).
i(t) = Im sin(ωt - ψi).
3. Графоаналитический способ
Рис. 2.2
Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.
Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.
Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.
В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.
Пример (рис. 2.3)
Рис. 2.3
i1(t) = Im1 sin(ωt)
i2(t) = Im2 sin(ωt + ψ2)
i(t) = ?
Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:
i(t) = i1(t) + i2(t) = Im1 sin(ωt) + Im2 sin(ωt - ψ2) = Im sin(ωt + ψ).
Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):
(2.4)
Im sin ψ = Im2 sin ψ2;
(2.5)
Im cos ψ = Im2 cos ψ2 + Im1;
Рис. 2.4
Из равенств (2.4 – 2.5) получаем
;
.
4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел
Рис. 2.5
Синусоидальный ток i(t) = Im sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Ím на комплексной плоскости (рис. 2.5)
Ím = Imejψ,
где амплитуда тока Im – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.
Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.
2.
Зададим изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону
i(t) = ImL sin(ωt + ψi).
Используем уравнение связи между током и напряжением в индуктивности
uL = L · di / dt
и получим
uL(t) = ωL · ImL cos(ωt + ψi).
Заменим cos на sin и получим
(2.18)
uL(t) = ωL · ImL sin(ωt + ψi + 90°).
Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид
(2.19)
uL(t) = UmL sin(ωt + ψu).
Соотношения (2.18) и (2.19) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз
(2.20)
UmL = ωL · ImL,
(2.21)
ψu = ψi + 90°.
Уравнение (2.20) можно переписать для действующих значений
(2.22)
UL = ωL · IL.
Уравнение (2.21) показывает, что фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину XL = ωL в уравнении (2.20) называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рис. 2.10, 2.11.
Рис. 2.10 и 2.11