пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Классификация связанных состояний в центральном поле. Главное, обитальное, магнитное, спиновое магнитное квантовые числа

Квантовые числа — энергетические параметры, определяющие состояние электрона и тип атомной орбитали, на которой он находится.

 

 

Квантовое число n – главное. Оно определяет энергию электрона в атоме водорода и одноэлектронных системах (He+, Li2+ и т. д.). В этом случае энергия электрона

63230092884948-1.gif

где n принимает значения от 1 до ∞. Чем меньше n, тем больше энергия взаимодействия электрона с ядром. При n = 1 атом водорода находится в основном состоянии, при n > 1 – в возбужденном.

В многоэлектронных атомах электроны с одинаковыми значениями n образуют слой или уровень, обозначаемый буквами K, L, M, N, O, P и Q. Буква K соответствует первому уровню, L – второму и т. д.

buttonModel_n.gif

hydrogenatom.jpg
Модель 2.2. Атом водорода

Орбитальное квантовое число l характеризует форму орбиталей и принимает значения от 0 до n – 1. Кроме числовых l имеет буквенные обозначения

l = 0 1 2 3 4
l = s p d f g

Электроны с одинаковым значением l образуют подуровень.

 

Квантовое число l определяет квантование орбитального момента количества движения электрона 63230092885049-2.gif в сферически симметричном кулоновском поле ядра.

Квантовое число ml называют магнитным. Оно определяет пространственное расположение атомной орбитали и принимает целые значения от –l до +l через нуль, то есть 2l + 1 значений. Расположение орбитали характеризуется значением проекции вектора орбитального момента количества движения Mz на какую-либо ось координат (обычно ось z):

63230092885079-3.gif

Все вышесказанное можно представить таблицей:

Орбитальное квантовое число Магнитное квантовое число Число орбиталей с данным значением l
l ml 2l + 1
0 (s) 0 1
1 (p) –1, 0, +1 3
2 (d) –2, –1, 0, +1, +2 5
3 (f) –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3 7
Таблица 2.1
Число орбиталей на энергетических подуровнях

Орбитали одного подуровня (l = const) имеют одинаковую энергию. Такое состояние называют вырожденным по энергии. Так p-орбиталь – трехкратно, d – пятикратно, а f – семикратно вырождены.

Граничные поверхности s-, p-, d-, f- орбиталей показаны на рис. 2.1.

Рисунок 2.1
Изображение с помощью граничных поверхностей s-, p-, d- и f-орбиталей.

s-Орбитали сферически симметричны для любого n и отличаются друг от друга только размером сферы. Их максимально симметричная форма обусловлена тем, что при l = 0 и μl = 0.

p-Орбитали существуют при n ≥ 2 и l = 1, поэтому возможны три варианта ориентации в пространстве: ml = –1, 0, +1. Все p-орбитали обладают узловой плоскостью, делящей орбиталь на две области, поэтому граничные поверхности имеют форму гантелей, ориентированных в пространстве под углом 90° друг относительно друга. Осями симметрии для них являются координатные оси, которые обозначаются pxpypz.

d-Орбитали определяются квантовым числом l = 2 (n ≥ 3), при котором ml = –2, –1, 0, +1, +2, то есть характеризуются пятью вариантами ориентации в пространстве. d-Орбитали, ориентированные лопастями по осям координат, обозначаются dz² и dx²–y², а ориентированные лопастями по биссектрисам координатных углов – dxydyzdxz.

Семь f-орбиталей, соответствующих l = 3 (n ≥ 4), изображаются в виде граничных поверхностей, приведенных на рис. 2.1.

Квантовые числа nl и ml не полностью характеризуют состояние электрона в атоме. Экспериментально установленно, что электрон имеет еще одно свойство – спин. Упрощенно спин можно представить как вращение электрона вокруг собственной оси. Спиновое квантовое число ms имеет только два значения ms = ±1/2, представляющие собой две проекции углового момента электрона на выделенную ось. Электроны с разными ms обозначаются стрелками, направленными вверх  и вниз .

В многоэлектронных атомах, как и в атоме водорода, состояние электрона определяется значениями тех же четырех квантовых чисел, однако в этом случае электрон находится не только в поле ядра, но и в поле других электронов. Поэтому энергия в многоэлектронных атомах определяется не только главным, но и орбитальным квантовым числом, а вернее их суммой: энергия атомных орбиталей возрастает по мере увеличения суммы n + l; при одинаковой сумме сначала заполняется уровень с меньшим n и большим l. Энергия атомных орбиталей возрастает согласно ряду 

  1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s ≈ 3d < 4p < 5s ≈ 4d < 5p < 6s ≈ 4f ≈ 5d < 6p < 7s ≈ 5f ≈ 6d < 7p.  

 

Итак, четыре квантовых числа описывают состояние электрона в атоме и характеризуют энергию электрона, его спин, форму электронного облака и его ориентацию в пространстве. При переходе атома из одного состояния в другое происходит перестройка электронного облака, то есть изменяются значения квантовых чисел, что сопровождается поглощением или испусканием атомом квантов энергии.

 

Квантовые числа

  Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется заданием трех квантовых чисел. "Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома" - так может современный физик перефразировать известное изречение Архимеда.
      Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, то есть предсказывает результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома.
      1. Главное квантовое число fml1.gif. Это квантовое число принимает значения
     
fml2.gif
     и определяет полную энергию электрона в любом квантовом состоянии
     
Формула 5.37. (5.37)
      Можно отметить, что эти значения энергии являются собственными значениями гамильтониана (5.17a). Поэтому в связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений и имеющий точку сгущения fml4.gif.
      2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число fml5.gif. В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа fml6.gif азимутальное квантовое число может иметь следующие значения:
     
fml7.gif.
      Из выводов предыдущего параграфа следует, что стационарные волновые функции fml8.gif, описывающие различные квантовые состояния атома, являются собственными функциями не только оператора полной энергии fml9.gif, но и оператора квадрата момента импульса fml10.gif, причем
     
fml11.gif.
      Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом:
     
Формула 5.38. (5.38)
      Проанализируем эту формулу квантования момента импульса. Сравнивая ее с условием (5.3) квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно заметить, что эти условия не совпадают. И дело не только в отличии числовых значений, рассчитанных по этим формулам. Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что в квантовой механике возможны состояния атома с нулевым моментом импульса. Во всех fml13.gif-состояниях и, частности, в основном fml14.gif-состоянии, когда fml15.gif, по формуле (5.38)получаем fml16.gif.
      При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории (орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса.
      Опыт подтверждает существование квантовых состояний атома с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем - таков вывод современной физики.
      Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментомfml17.gif.
      В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса fml18.gif со скоростью fml19.gif, величина орбитального механического момента равна fml20.gif. Если время полного оборота электрона fml21.gif, то такому движению соответствует замкнутый ток
     
fml22.gif,
     который можно охарактеризовать величиной магнитного момента
     
fml23.gif.
     Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением
     
Формула 5.39. (5.39)
     Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента fml25.gif противоположно направлению вектора механического момента импульса fml26.gif (рис. 5.8).
      Для расчета орбитального магнитного момента в квантовой теории следует определить пространственную плотность электрического тока fml27.gif через плотность потока вероятностей fml28.gifпо формуле: fml29.gif. Плотность потока вероятности при этом можно найти по формуле (3.23), зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантовомеханический расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (5.39).
Рис.5.8
Рис. 5.8.
      Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом fml30.gif, величина которого определяется формулой (5.38), но и магнитным моментом.
     
Формула 5.40. (5.40)
      Здесь универсальная постоянная
     
fml32.gif
     служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора.
      Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число fml33.gif изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов fml34.gif, называется правилом отбора. Наличие такого правила отбора обусловлено тем, что электромагнитное излучение (фотон) уносит или вносит не только квант энергии, но и вполне определенный момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое число для электрона всегда на единицу.
      3. Магнитное квантовое число fml35.gif. В квантовом состоянии с заданным значением орбитального квантового числа fml36.gif, магнитное квантовое число может принимать fml37.gifразличных значений из ряда
     
fml38.gif.
      Физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция fml39.gif, описывающая квантовое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса fml40.gif, причем
     
fml41.gif.
      Поэтому, из общих положений квантовой механики (см. раздел 3.5) следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление fml42.gif может иметь только определенные значения, равные
     
Формула 5.41. (5.41)
      Направление fml44.gif в пространстве обычно выделяется внешним полем (например, магнитным или электрическим), в котором находится атом.
      Так как формула (5.41) квантования проекции механического момента соответствует вполне определенным направлениям ориентации в пространстве вектора fml45.gif (рис. 5.9), то эту формулу называют обычно формулой пространственного квантования.
      С точки зрения классического представления об электронной орбите, с учетом перпендикулярности вектора fml46.gif к плоскости орбиты, соотношение (5.41) определяет возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля.
Рис.5.9
Рис. 5.9.
      Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов атома позволяет с учетом (5.41) записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление fml47.gif:
     
Формула 5.42, (5.42)
     зависящие от значения магнитного квантового числа fml49.gif.
 

 

4.Спиновое квантовое число s может принимать лишь два возможных значения +1/2 и -1/2. Они соответствуют двум возможным и противоположным друг другу направлениям собственного магнитного момента электрона, называемого спином (от англ. веретено). Для обозначения электронов с различными спинами используются символы: spin1.gif и spin2.gif.

 

 

 

 


хиты: 14
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь