Энергетический спектр финитного и инфинитного движения

В общем случае невозмущенное движение в гравитационном поле определяется законом сохранения энергии, то есть K + U = сonst, где  – кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ,  – потенциальная энергия этого тела, находящегося на расстоянии r от тела массой M. Закон сохранения энергии можно переписать в виде:

Константа h называется постоянной энергии. Она прямо пропорциональна полной механической энергии тела E и зависит только от начального радиус-вектора r0 и начальной скорости υ0. При h < 0 ( ) кинетической энергии тела недостаточно для преодоления гравитационной связи. Величина радиус-вектора тела ограничена сверху и имеет место обращение по замкнутой, эллиптической орбите. Такое движение можно уподобить движению маятника – тот же самый переход кинетической энергии в потенциальную во время подъема и обратный – при опускании. Подобное движение называется финитным. Для h = 0 (  ) при неограниченном возрастании радиус-вектора тела его скорость уменьшается до нуля – это движение по параболе. Оно инфинитно. При h > 0 (  ) кинетическая энергия тела достаточно велика, и на бесконечном расстоянии от притягивающего центра тело будет иметь ненулевую скорость удаления от него – это движение по гиперболе. Тело также может двигаться по прямой. Это происходит, когда его скорость направлена к притягивающемуся центру или от него. Таким образом, можно сказать, что тело движется относительно притягивающего центра только по орбитам, являющимисяконическими сечениями.

Критическая скорость, при которой происходит движение по параболе, называют параболической скоростью. Ее можно определить из закона сохранения энергии:

Таким образом, чтобы навсегда покинуть Землю, тело у поверхности Земли должно иметь скорость не меньше 11,2 км/с. Аналогичная величина для Солнца составляет 618 км/с. Тело, стремящееся навсегда покинуть Солнечную систему и находящееся на орбите Земли, должно иметь скорость не меньше 42,1 км/с.

Приближение тела к притягивающему центру всегда должно сопровождаться увеличением орбитальной скорости тела, а удаление – уменьшением в полном соответствии со вторым законом Кеплера.