То что электрический ток обладает энергией не вызывает сомнений − он способен разогреть воду в чайнике, осветить улицы, двигать электропоезда и.д. Настало время разобраться, что это за энергия и где она локализована.
Из-за чрезвычайно малой массы носителей электрического тока (например, электронов в металлах) и малой скорости их направленного движения энергия электрического тока не может быть связана с кинетической энергией носителей тока.
Нельзя также связать энергию тока с потенциальной энергией взаимодействия зарядов с электрическим полем. Мы показали, что в цепи постоянного тока уменьшение этой энергии в точности равно количеству теплоты, выделяющейся в проводнике.
При изменении электрического тока изменяется создаваемое им магнитное поле, следовательно, изменяется и его энергия. Так как других видов энергии участвующих в процессе протекания тока нет, то следует предположить, что фактически энергия электрического тока есть энергия, создаваемого им магнитного поля. Наше дальнейшее рассмотрение призвано доказать (или показать) справедливость этого предположения.
Рассмотрим с энергетической точки зрения переходные процессы установления тока. Пусть катушка, обладающая индуктивностью L, подключается к источнику тока, ЭДС которого равна E (рис. 560). Полное электрическое сопротивление цепи обозначим R.
рис. 560
Строго говоря, индуктивностью обладают все элементы цепи (в том числе соединяющие провода и источник), поэтому под Lследует понимать полную индуктивность цепи.
При замыкании цепи под действием источника тока в проводниках возникает электрическое поле, приводящее к появлению электрического тока. Этот ток создает магнитное поле. При изменении силы электрического тока магнитное поле также изменяется, что приводит к появлению вихревого электрического поля, которое в свою очередь влияет на силу электрического тока в цепи, в соответствии с правилом Ленца, препятствуя нарастанию тока. Тем самым источник должен совершать дополнительную работу по преодолению сил со стороны вихревого электрического поля. Эта работа увеличивает энергию электромагнитного поля. Таким образом, изменяющийся электрический ток влияет на самого себя − мы очередной раз встречаемся с «зацикленной» математической задачей: «следствие» (магнитное поле) влияет на «причину» (электрический ток).
Для математического описания процессов в этой цепи можно воспользоваться законом Ома для полной цепи:
В этом уравнении учтено, что ЭДС в цепи создается не только источником, но и вихревым электрическим полем, которая выражена через индуктивность цепи.
Уравнение (1) позволяет получить зависимость силы тока в цепи от времени. Для этого запишем его в виде
С уравнением такого типа мы встречались неоднократно − оно описывает монотонный переход к стационарному режиму.
рис. 561
Для определения параметров этого перехода перепишем его в стандартной форме (М13)
Из вида этого уравнения следует, что сила тока стремится к стационарному значению
В стационарном режиме, когда сила тока постоянная ЭДС самоиндукции равна нулю, в этом режиме соленоид не влияет на протекание тока в цепи. Чем и объясняется формула (4). Характерное время перехода к стационарному режиму также определяется уравнением (3)
Для рассмотрения процессов преобразования энергии в данной цепи перепишем уравнение (2) в виде
и умножим его на малую величину заряда Δq = IΔt, протекающего по цепи за малый промежуток времени Δt:
В этом уравнении каждое слагаемое имеет явный физический смысл:
− произведение
работа, совершенная источником по перемещению рассматриваемой порции заряда;
количество теплоты, выделившейся в цепи при перемещении этого же заряда.
Последнее слагаемое отлично от нуля, только если сила тока и создаваемое им магнитное поле изменяются. Следовательно, именно оно описывает изменение энергии магнитного поля ΔWM! В этом случае смысл уравнения (4) становится очевидным и показан на рис. 562:
рис. 562
работа, совершенная источником Aист, равна сумме энергии созданного магнитного поля WM количества выделившейся теплоты Q.
Преобразуем последнее слагаемое к виду (с учетом неоднократно использованного нами соотношения для малых изменений Δ(x2) = 2xΔx):
Таким образом, энергия магнитного поля, созданного током в цепи, описывается формулой
где L − полная индуктивность цепи. Полученная формула справедлива магнитного поля электрического тока в любой электрической цепи.
Рассмотрим теперь ее частный случай − когда в цепь включен соленоид − длинная катушка. В этом случае можно считать, что магнитное поле полностью локализовано внутри катушки, и пренебречь индуктивностью остальных элементов цепи.
рис. 563
Индуктивность такой катушки определяется формулой
а индукция магнитного поля внутри ее равна
С учетом этих формул преобразуем выражение (5)
Теперь энергия магнитного поля выражена через величину индукции и объем, занимаемым полем. В рассматриваемом случае магнитное поле является однородным, поэтому его энергия пропорциональна объему, следовательно, величина
описывает энергию, приходящуюся на единицу объема, занимаемого однородным магнитным полем. Эта физическая величина называется плотностью энергии магнитного поля.
Если магнитное поле не является однородным, то под плотностью энергии следует понимать отношение энергии ΔW, заключенной в малом объеме ΔV, к величине этого объема
В этом случае плотность энергии можно рассматривать как «точечную» характеристику поля, определенную в каждой пространственной точке, со всеми оговорками присущими подобным характеристикам, таким как «обычная» плотность, плотность энергии электрического поля и т.д. При таком, более строгом определении плотность энергии магнитного поля также определяется формулой (6).
Рассмотрим теперь процесс убывания электрического тока в соленоиде.
Для этого представим следующую цепь (рис. 564).
рис. 564
Пусть первоначально ключ замкнут в положении 1, после установления тока в цепи, быстро перебросим ключ в положение 2, тем самым, выключая источник ЭДС из контура. Ток в контуре не исчезнет мгновенно, так как не исчезнет мгновенно магнитное поле. При уменьшении индукции магнитного поля возникнет вихревое электрическое поле, ЭДС которого будет поддерживать в течение некоторого времени ток в контуре. Направление индукции магнитного поля не изменится при отключении источника, а направление вихревого электрического поля будет противоположно полю, возникающему при нарастании тока. Иными словами, при возрастании тока в цепи ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию тока (направление поля − против направления тока), а при уменьшении тока ЭДС индукции препятствует уменьшению тока, поддерживает его (направления поля совпадает с направлением тока). Для описания изменения тока в контуре запишем уравнение закона Ома для полной цепи
и выражение для ЭДС самоиндукции
В результате получим уравнение, описывающее динамику изменения силы тока в контуре
Мы получили уже неоднократно изученное нами уравнение затухания, в котором скорость изменения тока пропорциональна силе тока. В этом случае сила тока монотонно убывает от начального значения до нуля с характерным временем затухания
которое совпадает со временем установления тока в этой же цепи.
Чтобы описать энергетические характеристики процесса, умножим уравнение (8) на величину малого заряда Δqi, протекающего по цепи за малый промежуток времени Δti
и просуммируем по всему времени исчезновения тока. Рассмотрим смысл, получающихся сумм, для чего преобразуем их следующим образом: Выражение в левой части
есть изменение энергии магнитного поля. При вычислении последней суммы учтено, что начальное значение силы тока равно Io, а конечное равно нулю. Сумма в правой части уравнения (10) есть количество выделившейся теплоты, которое равно
что совпадает с начальной энергией магнитного поля. Таким образом, при исчезновении электрического тока энергия магнитного поля полностью выделяется в виде теплоты (переходит в тепловую энергию окружающей среды).
Если просто разомкнуть цепь, показанную на рисунке 561, то исчезновение магнитного поля будет сопровождаться излучением электромагнитных волн, которые «унесут» энергию поля. Строго говоря, в любом случае при изменении тока происходит излучение электромагнитных волн, однако при медленном изменении энергия электромагнитных волн незначительна, то ей можно пренебречь, как это было сделано при описании исчезновения и возникновения тока в цепи, в рассмотренных примерах.
