пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Точечный заряд двигающийся в магнитном поле. Циклотронная частота и ларморов радиус

{Точечный заряд двигающийся в магнитном поле. Циклотронная частота и ларморов радиус}

 Процесс возникновения магнитного поля, под действием изменяющегося во времени электрического поля, также логически следует из принципа относительности и полевой теории близкодействия. Неподвижный электрический заряд создает электростатическое поле, если же перейти в систему отсчета, в которой этот заряд движется равномерно, то в этой системе отсчета будет существовать и магнитное поле. Появление это поля качественно можно истолковать следующим образом: пусть в некоторой точке A в некоторый момент времени движущийся со скоростью v заряд q создает электрическое поле напряженности Eo (рис. 529).

 

рис. 529


 При смещении заряда напряженность электрического поля будет изменяться по величине и по направлению. Изменяющееся в рассматриваемой точке электрическое поле и создает в этой точке магнитное поле.
 Свяжем между собой характеристики электрического и магнитного полей. Для этого воспользуемся законом Био-Савара. Элемент тока IΔl в произвольной точке A создает магнитное поле, индукции которого равна


где R − расстояние от элемента тока до точки Aα − угол между направлением элемента тока и направлением на точку A (рис. 530 а).

 

рис. 530


 Направлен вектор индукции перпендикулярно элементу тока и отрезку, соединяющему его с точкой A. Характеристику элемента тока IΔl можно представить в виде


где q − величина заряда, движущегося внутри выделенного элемента тока. Следовательно, можно утверждать, что заряд q, движущийся со скоростью v, создает магнитное поле величиной


 Движущийся заряд создает также и электрическое поле, в отличие от элемента тока, в котором заряды одного знака движутся, а равные по величине заряды противоположного знака покоятся. Проведенная нами замена элемента тока на движущийся заряд законна, так как магнитное поле создается только движущимися зарядами.
 Разложим вектор скорости v заряженного тела на две составляющие (рис. 530 б): v1 − направленную вдоль отрезка, соединяющей заряд с точкой наблюдения, и v2 − перпендикулярную этому отрезку. Как следует из закона Био-Савара, движущийся заряд не создает магнитного поля в точках, лежащих на прямой вдоль вектора скорости. Поэтому, можно сказать, что магнитное поле в точке A создается благодаря перпендикулярной компоненте скорости v2. Это обстоятельство отражено и в формуле (3), где фигурирует произведение vsinα, равное модулю перпендикулярной компоненты скорости v2. Таким образом, можно упростить рассматриваемую задачу, рассматривая поля в точках плоскости, проходящей через заряд и перпендикулярной вектору заряда (рис. 531).

 

рис. 531


 По аналогии с законом электромагнитной индукции можно предположить, что циркуляция вектора индукции связана с изменением потока вектора напряженности электрического поля, поэтому найдем эти величины и попытаемся найти связь между ними. Рассмотрим наиболее простой случай. На окружности L, центр которой совпадает с зарядом, вектор индукции направлен по касательной к этой окружности и постоянен по модулю. Поэтому циркуляция вектора индукции по этому контуру равна


 Найдем изменение потока вектора напряженности электрического поля через рассматриваемый контур L. Как и в случае расчета магнитного «потока через контур», мы должны выбрать поверхность, опирающуюся на контур.
 Пусть в рассматриваемый момент времени заряд находится в некоторой плоскости. В качестве поверхности, через которую рассчитывается поток, выберем полусферу Ωo, опирающуюся на окружность L (рис. 532).

 

рис. 532


 Через малый промежуток времени Δt заряд сместится на расстояние vΔt. Чтобы найти электрический поток в этот момент времени дополним сместившуюся полусферу Ω1 тонким цилиндрическим слоем, соединяющим край полусферы с окружностью L (на рис. 532 этой слой затенен). Понятно, что изменение потока через контур равно потоку через выделенную полоску. Так как полоска узкая, то можно считать, что во всех ее точках вектор напряженности электрического поля направлен по нормали к поверхности и постоянен по модулю, поэтому искомый поток равен


где


напряженность электрического поля точечного заряда,


площадь выделенной полоски.
 Сравнивая это выражение с формулой для циркуляции вектора магнитной индукции (6), мы видим, что наша гипотеза оправдалась: действительно, циркуляция вектора индукции пропорциональна изменению потока вектора напряженности электрического поля


 Тем самым мы пришли к той же формулировке закона, описывающего токи смещения.
 В данном выводе сделано одно неявное допущение: мы приняли, что напряженность электрического поля движущегося заряда определяется, так же как и напряженность поля неподвижного заряда. Строго говоря, это условие выполняется только при скоростях движения зарядов значительно меньших скорости света. Однако, полученный закон, связывающий характеристики изменяющегося электрического поля и создаваемого им магнитного поля справедлив при любых скоростях движущихся зарядов.

Циклотронная частота

 

Угловая скорость движения заряженной частицы по круговой траектории 

63230164575306-18.gif

называется циклотронной частотой. Циклотронная частота не зависит от скорости (следовательно, и от кинетической энергии) частицы. Это обстоятельство используется в циклотронах – ускорителях тяжелых частиц (протонов, ионов). Принципиальная схема циклотрона приведена на рис. 1.18.3.

 

Рисунок 1.18.3.
Движение заряженных частиц в вакуумной камере циклотрона
 

 

 

Циклотронная частота (гирочастота, гиромагнитная частота) — частота обращения заряженной частицы в постоянном магнитном поле mathbf{H} в плоскости, перпендикулярной mathbf{H}.

Для свободного электрона циклотронная частота (называемая в этом случае также гиромагнитной частотой) определяется равенством силы Лоренца и центробежной силы. В этом случае она равна

omega_c = frac{eH}{m_0c} (в системе СГС), где e и m_0 — заряд и масса свободного электрона; c — скорость света в вакууме.

Для релятивистской частицы циклотронная частота становится меньше:

omega_c^{rel} = omega_c sqrt{1 - left(frac{v}{c} right)^2}, где v — скорость частицы.

Вращаясь в магнитном поле, частица испускает магнитотормозное излучение на гармониках циклотронной частоты.

Нерелятивистская частица излучает в основном на частоте omega_c — циклотронное излучение (в квантовой теории — это переход между уровнями Ландау).

В твёрдом теле движение электрона осложнено взаимодействием с кристаллической решёткой. При движении носителя заряда в постоянном магнитном поле его энергия E и проекция квазиимпульса mathbf{p} на направление mathbf{H} (p_H) сохраняются, так что в импульсном пространстве движение происходит по кривой пересеченияизоэнергетической поверхности плоскостью p_H = const. Если эта кривая замкнута, то движение является периодическим и происходит с циклотронной частотой:

omega_c = frac{qH}{m_cc}, где q — заряд частицы, а m_c — циклотронная масса.

 

Ларморов радиус

 

Ларморовский радиус (на английском также radius of gyration, gyroradius или cyclotron radius) обозначает радиус кругового движения заряжённой частицы в однородноммагнитном поле.

Ларморовский радиус назван в честь ирландского физика Джозефа Лармора (Joseph Larmor).

r_g = frac{m v_{perp}}{|q| B}

где

  • r_g Ларморовский радиус,
  • m масса заряжённой частицы,
  • v_{perp} скорость, перпендикулярная линии магнитного поля,
  • q заряд частицы,
  • B магнитная индукция.

На заряженную частицу, которая движется в магнитном поле, действует сила Лоренца:

vec{F} = q(vec{v} times vec{B})

где

Направление силы определяется векторным произведением скорости и магнитной индукции. Поэтому сила Лоренца всегда действует перпендикулярно направлению движения и вынуждает частицу на круговую траекторию. Радиус r_g этого кругового движения можно вычислить из равновесия силы Лоренца и центробежной силы:

frac{m v_{perp}^2}{r_g} = qv_{perp}B

где

  • mмасса частицы,
  • v_{perp} скорость перпендикулярно к линиям магнитного поля,
  • B магнитная индукция.

Из этого следует

r_g = frac{m v_{perp}}{q B}

Видно, что ларморовский радиус прямо пропорционален массе и скорости частицы и обратно пропорционален заряду и магнитной индукции.


хиты: 36
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь