Вектор электрической индукции, в сущности, представляет собой сумму двух совершенно различных физических величин: напряженности поля и ( умноженной на 4тг) поляризации единицы объема среды. Тем не менее введение в рассмотрение этого вектора чрезвычайно упрощает изучение поля в диэлектриках.
Вычислять распределение связанных зарядов в среде всегда трудно. Но оказывается, что в некоторых случаях для вычисления электрического поля в диэлектриках достаточно знать только распределение стороннего заряда 
.Покажем, что это действительно так. Поле внутри диэлектрика определяется и сторонним и связанным зарядом: 
. Но после подстановки 
, получим
или 
.
Вектор 
называют вектором электрической индукции или электрического смещения. Подставляя 
в предыдущую формулу, находим
, где безразмерный коэффициент 
называетсядиэлектрической проницаемостью среды.
Из полученных соотношений видно, что электрическое поле в диэлектрике удобно описывать не вектором напряженности 
, а вектором индукции 
, для которого теорема Гаусса в дифференциальной форме принимает вид: 
. Из нее следует, что линии вектора начинаются только на положительных сторонних зарядах 
и заканчиваются только на отрицательных сторонних зарядах 
. Применив теорему Остроградского, можно сформулировать теорему Гаусса для 
в интегральной форме: поток вектора 
через любую замкнутую поверхность 
равен алгебраической сумме обычных сторонних зарядов внутри этой поверхности:
. Поэтому вектор 
можно в ряде случаев вычислить, зная только распределение стороннего заряда, а поле связанных зарядов в явном виде можно при этом не искать. Однако, еще раз заметим, что электрическое поле в диэлектрике создается и сторонними, и связанными зарядами, как видно из теоремы Гаусса для вектора 
или 
.
Если диэлектрик изотропен (
- скаляр), то векторы 
и 
параллельны: 
. Тогда, зная вектор 
, можно определить и вектор 
: 
. В анизотропных диэлектриках вектор 
не параллелен вектору 
, и надо вводить тензор диэлектрической проницаемости 
.
Следует заметить, что в вакууме 
, 
и 
.
В тех случаях, когда изотропный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 
занимает все пространство между эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, напряженность электрического поля в нем уменьшается в 
раз по сравнению с напряженностью поля в вакууме (в отсутствии диэлектрика), а вектор электрической индукции 
при этом не изменяется.
Кулоновская сила взаимодействия двух точечных зарядов 
и 
, находящихся в диэлектрической среде, уменьшается в 
раз. 
и 
. Поэтому все формулы и теоремы для электрического поля в вакууме, полученные в главе 1 из закона Кулона, остаются справедливыми и внутри изотропной диэлектрической среды с проницаемостью 
. Но во всех выражениях надо произвести замену 
на 
(для вакуума 
). Чтобы не учитывать дополнительного искривления силовых линий на связанных зарядах, обычно считают, что диэлектрик заполняет все пространство, т.е. ограничен эквипотенциальной поверхностью 
.
Электрическое поле на границе двух сред. Пусть на границе двух изотропных однородных диэлектриков с проницаемостями 
и 
отсутствуют сторонние (свободные) заряды. Тогда на этой границе появляется только связанный заряд с поверхностной плотностью 
, при этом на границе раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора 
не изменяется, сохраняется нормальная составляющая вектора 
и не сохраняется нормальная составляющая вектора 
. Таким образом, на границе раздела диэлектриков, не обладающих сегнетоэлектрическими свойствами, силовые линии электростатического поля претерпевают излом.
Уравнения Пауссона и Лапласа
Уравнения Пуассона и Лапласа вытекают из теоремы Гаусса в дифформе и тоже относятся к числу основных уравнений электростатики. Действительно, известно, что 
. В тоже время 
Подставляя первое выражение во второе, получаем 
или 
Вместо дивергенции и градиента можно использовать оператор набла, тогда получим 
. 
называется лапласианом и обозначается так 
. Тогда 
. Это и есть уравнение Пуассона. Раскроем лапласиан потенциала в прямоугольной системе координат: 
поскольку произведение одноименных ортов даёт единицу, а разноименных – ноль.
Частный вид уравнения Пуассона при ρсв=0 называется уравнением Лапласа. Оно выглядит так 
или в прямоугольной системе координат 
. Уравнение Лапласа описывает области электростатического поля, не занятые свободным зарядом.
В
электростатике встречаются задачи, которые значительно легче решаются не в прямоугольной, а в цилиндрической или сферической системе координат (рис.11.9). Выражение лапласиана потенциала в цилиндрической системе координат имеет вид: 
, а в сферической 
.
Решение уравнений Пуассона и Лапласа в математическом отношении является весьма сложной задачей, но зато их решение позволяет определить закон изменения потенциала по известному распределению заряда. При решении этих уравнений появляются постоянные интегрирования, которые определяются исходя из граничных условий.
