Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает
- электростатическое поле,
- стационарное поле температуры,
- поле давления,
- поле потенциала скорости в гидродинамике.
, | (1.65) |
, | (1.66) |
. | (1.67) |
, | (1.68) |
Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.
Это уравнение имеет вид:
где — оператор Лапласа или лапласиан, а — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.
В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:
В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:
Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):
Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».
Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:
где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (вфарадах на метр).
В единицах системы СГС:
В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:
и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:
Потенциал точечного заряда
Потенциал, источником которого служит точечный заряд,
- то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина
для уравнения Пуассона,
то есть решение уравнения
где - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а
В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как
- Здесь мы имеем в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
- Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов .