Электрическое поле можно описать либо с помощью вектора напряженности 
, либо с помощью скалярной величины потенциала 
. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Рассмотрим две бесконечно близкие точки 1 и 2, расположенные на оси 
(в начале оси находится положительный заряд 
, который создает поле), так что 
. Разность потенциалов в этих точках 
. Работа при перемещении пробного положительного заряда 
или 
.
Приравниваем оба выражения
; 
.
Отсюда получаем дифференциальную связь между напряженностью и потенциалом
. (1.15)
Аналогичные рассуждения применимы и для осей 
и 
. Поскольку в общем случае 
, то приращение потенциала складывается из частных приращений по различным координатам. Поэтому в выражениях для компонент напряженности должны фигурировать частные производные потенциала по соответствующей координате:
.
Эти соотношения можно объединить в одну векторную формулу
, (1.16)
где 
– единичные векторы координатных осей 
. Приняв во внимание определение оператора градиент (
), можно записать
, (1.17)
т. е. напряженность электростатического поля 
равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности 
направлен в сторону убывания потенциала.
 |
Между и можно установить и определенное геометрическое соотношение (рис. 1.5). Для этого определим так называемую эквипотенциальную поверхность: геометрическое место точек в пространстве (в котором задано силовое поле), характеризующихся одинаковым значением потенциала. Из определения следует, что между двумя любыми точками эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю.
Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям напряженности электростатического поля(рис.1.5).Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковыми. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. |
Линии напряженности всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. В самом деле, все точки эквипотенциальной поверхности обладают одинаковым потенциалом, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, которые действуют на заряд, всегда направлены по перпендикурярам к эквипотенциальным поверхностям. Значит, вектор Е всегда перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е перпендикулярны этим повер¬хностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесконечное множество. Но обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были равны друг другу. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где гуще расположены эти поверхности, напряженность поля больше.
Значит, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно нарисовать эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному нам расположению эквипотенциальных поверхностей можно найти в каждой точке поля направление и модуль напряженности поля. На рис. 1 в качестве примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного электрического заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, который имеет на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).
