Операции над матрицами и их свойства

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц $A + B$ есть операция нахождения матрицы $C$ , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц $A$ и $B$ , то есть каждый элемент матрицы $C$ равен

$\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Свойства сложения матриц:

1.коммутативность: A+B = B+A;

2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы $A$ на число $\lambda \in \mathcal{K}$ заключается в построении матрицы $\lambda A = ( \lambda a_{ij} )$ .

Свойства умножения матриц на число:

1. 1A = A;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Произведение матриц

Умножение матриц (обозначение: $A B$ , реже со знаком умножения $A\times B$ ) — есть операция вычисления матрицы $C$ , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

$\! c_{ij} = \sum^n_{k=1} a_{ik} b_{kj}$

Количество столбцов в матрице $A$ должно совпадать с количеством строк в матрице $B$ , иными словами, матрица $A$ обязана быть согласованной с матрицей $B$ . Если матрица $A$ имеет размерность $m \times n$ , $B$ — $n \times k$ , то размерность их произведения $A B = C$ есть $m \times k$ .

Свойства умножения матриц:

1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

2.некоммутативность (в общем случае): AB $\neq$ BA;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);