пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Плоскость. Общее уравнение плоскости

Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz, то уравнением плоскости в этой системе координат трехмерного пространства называют такое уравнение с тремя неизвестными xy и z, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и не удовлетворяют координаты никаких других точек.

Теорема

Всякое уравнение вида формула, где ABC и D – некоторые действительные числа, причем АВ и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида  формула при некотором наборе чисел ABC и D.

 

Доказательство

Так как числа АВ и С одновременно не равны нулю, то существует точка формула, координаты которой удовлетворяют уравнению формула, то есть, справедливо равенство формула. Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения формула, при этом получим уравнение вида формула эквивалентное исходному уравнению формула. Теперь, если мы докажем, что уравнение формула определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение формула также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство формула представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов формула и формула. Иными словами, координаты плавающей точки формула удовлетворяют уравнению формула тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы формула и формула. Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство формула, то множество точек формула определяет плоскость, нормальным вектором которой является формула, причем эта плоскость проходит через точку формула. Другими словами, уравнение формула определяет в прямоугольной системе координатOxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение формула определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

изображение

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку формула, нормальным вектором которой является формула. Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида формула.

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет формула. Тогда векторы формула и формула будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: формула. Приняв формула, уравнение примет вид формула. Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана.


16.06.2015; 01:36
хиты: 266
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь