Угол между прямой и плоскостью
Формула вычисления угла между прямой и плоскостью
Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L
s = {l; m; n}
и уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0,
то угол между прямой и плоскостью можно найти, используя следующую формулу:
| sin φ = | | A · l + B · m + C · n | |
| √A^2 + B^2 + C^2 · √l^2 + m^2 + n^2 |
Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
Из уравнения прямой 
можно найти направляющий вектор прямой
а (ax,ay,az)
Из уравнения плоскости 
вектор нормали плоскости имеет вид
N = {A,B,C}
Из формул скалярного произведения векторов |a*N| = |a|*|N|*cosψ найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой
| cos ψ = | | q · s | |
| | s | · |q | |
Так как φ = 90° - ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.
Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.
| sin φ = | | A · l + B · m + C · n | |
| √A^2 + B^2 + C^2 · √l^2 + m^2 + n^2 |
Условия параллельности и перпендикульярности
Условие параллельности двух прямых в пространстве:
имеет вид
Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид
mm1 + nn1 + pp1 = 0.
