Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів. Найбільший порядок похідних називається порядком ДР.
у ¢ = у — ДР першого порядку;
у ² + siny = 0 — ДР другого порядку;
у ¢¢¢ × у ¢ – у ² × у ² = 0 — ДР третього порядку.
ДР першого порядку в загальномувиглядіможна подати так:
Розв’язком ДР називаєтьсяфункція у = j(х), яка в результатіпідставляння в ДР замістьшуканоїфункціїперетворюєце ДР на тотожність: y= ѱ(x, C1, C2, … Cn)
Графікфункції у = j(х) називаєтьсяінтегральною кривою. Процесзнаходженнярозв’язкуназиваєтьсяінтегруванням ДР.
Задача Коші
Означення. Задача знаходженнячастинногорозв’язку у = j(х) ДР (2), щозадовольняєумову:
у = у0 при х = х0, (1)
називається задачею Коші. Умови (1) називаютьсяпочатковимиумовами, а числа у0, х0 — початковимизначеннями.
Диференціальнимрівнянням I-го порядку називаєтьсярівняннявигляду: F( x,y,y,) =0 . Якщоцерівняннярозв’язаневідносно y′ , то воноприймаєвигляд: y,= f( x ,y ) .
Порядок похідної вказує на порядок ДР.
Загальна форма ДР: F( x, y, y,,y,,, … yn)=0
