пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Наведітьприклади задач, щоприводять до поняттявизначеногоінтеграла

Деякізадачі, щоприводять до поняття визначеногоінтеграла

Розглянемо на простому конкретному прикладі задачу обчислення  площіфігури, обмеженої  неперервною кривою  , заданої на інтервалі , двома ординатами в  точках  і , та віссю , (рис.1) , за тією схемою , за обчислення моменту інерціїтіла , де доситьчіткопросліджувалися  три етапи . Розглядувануфігуру  даліназиватимемокриволінійноютрапецією . 

 

Рис. 9.1

Етап 1. Розбиттяфігури    (рис. 9.1) на ряд вузькихсмужок, паралельнихосі . Площукожноїізсмужокможнаобчислюватинаближено, замінюючиїїабопрямокутником, верхня основа якого проходить через точку на кривій і знаходиться не вище за криву, аботрапецією ,обмеженоюзверху хордою , щосполучаєкінцівідрізкукривої .

Етап 2. Сума площусіхпрямокутниківаботрапецоїднихсмужокдастьнаближенезначенняплощкриволінійноїтрапеції. Очевидно, щоцяплоща буде обчисленатимточніше, чимменшою буде ширина кожноїсмужки .

Етап 3. Для  точногообчисленняплощікриволінійноїтрапеціїслідобчислити  границювказаноїсуми, коли ширина кожноїсмужки  прямує до нуля . Точнезначенняплощікриволінійноїтрапеціїпозначаютьсимволом  ,якийназиваєтьсявизначенимінтегралом у проміжкувід   до  функції і вперше введений     Й.Бернуллі . Функція   називаєтьсяпідінтегральною , а  вираз  підінтегральним. Знак нагадуєрозтягнутулітеруS , першу  літерулатинського слова  “summa” .Числа  і  – границіінтегрування (нижня і верхня  відповідно ), – підінтегральназмінна . Аналогічноможнапідійти і до способуобчисленнядовжини дуги (див. Рис.9.1) . З’єднуючи точки поділу  кривої на частинки хордами , можнавважати, що сума довжин  усіх хорд наближенодорівнюватимедовжині дуги . Якщопозначити ширину кожноїсмужки  через , а різницю основ трапеції через , то довжини хорд дорівнюватимуть . Тоді сума довжинусіх хорд виразиться таким чином :  і наближенодорівнюватимедовжині дуги Для обчислення точного значеннядовжини дуги слід перейти до границіцієїсуми , коли всі  прямують до нуля . Якщо - диференційована , то і  при цьомутежпрямуватиме до нуля . В результаті переходу до вказаноїграниці одержимо довжину  дуги у  вигляді

 

Рекомендуєтьсяодержати для обчислення, наприклад, масукривої (див. рис. 9.1) ,знаючи , щоїїлінійнагустина  де  - неперервнафункція, статичний момент фігури   відносноосі , вважаючи, щогустинафігури стала, наприклад, дорівнюєодиниці, момент інерціїтієїсамоїфігуривідносноосі  за  того самого припущеннящодогустини.

Обчислюючимасу  дуги , будемовважати , що в межах маленького відрізка дуги густинамаси мало змінюється , тобтоїїможнавважатисталою . Обчислюючи  статичний момент фігури  відносноосі   будемомати на увазі , щостатичним моментом матеріальної точки відносноосіназиваєтьсядобутокмаситочки на їївіддальвідосі й що за сталоїгустинимасупрямокутноїсмужкиможназосередити в їїцентрі і вважати точкою .

Обчислюючи момент інерціїфігури   відносноосі ,слідвважати, що момент інерціївузенькоїсмужкивідносноосі, їйпаралельної, дорівнює  добуткумасисмужки на квадрат їївіддалівідосі.  Розв’язуючицізавдання, нескінченномалими величинами, порядок якихбільший за одиницю, можнанехтувати. 


14.06.2015; 11:13
хиты: 71
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь