Деякізадачі, щоприводять до поняття визначеногоінтеграла
Розглянемо на простому конкретному прикладі задачу обчислення площіфігури, обмеженої неперервною кривою , заданої на інтервалі , двома ординатами в точках і , та віссю , (рис.1) , за тією схемою , за обчислення моменту інерціїтіла , де доситьчіткопросліджувалися три етапи . Розглядувануфігуру даліназиватимемокриволінійноютрапецією .
Рис. 9.1
Етап 1. Розбиттяфігури (рис. 9.1) на ряд вузькихсмужок, паралельнихосі . Площукожноїізсмужокможнаобчислюватинаближено, замінюючиїїабопрямокутником, верхня основа якого проходить через точку на кривій і знаходиться не вище за криву, аботрапецією ,обмеженоюзверху хордою , щосполучаєкінцівідрізкукривої .
Етап 2. Сума площусіхпрямокутниківаботрапецоїднихсмужокдастьнаближенезначенняплощкриволінійноїтрапеції. Очевидно, щоцяплоща буде обчисленатимточніше, чимменшою буде ширина кожноїсмужки .
Етап 3. Для точногообчисленняплощікриволінійноїтрапеціїслідобчислити границювказаноїсуми, коли ширина кожноїсмужки прямує до нуля . Точнезначенняплощікриволінійноїтрапеціїпозначаютьсимволом ,якийназиваєтьсявизначенимінтегралом у проміжкувід до функції і вперше введений Й.Бернуллі . Функція називаєтьсяпідінтегральною , а вираз підінтегральним. Знак нагадуєрозтягнутулітеруS , першу літерулатинського слова “summa” .Числа і – границіінтегрування (нижня і верхня відповідно ), – підінтегральназмінна . Аналогічноможнапідійти і до способуобчисленнядовжини дуги (див. Рис.9.1) . З’єднуючи точки поділу кривої на частинки хордами , можнавважати, що сума довжин усіх хорд наближенодорівнюватимедовжині дуги . Якщопозначити ширину кожноїсмужки через , а різницю основ трапеції через , то довжини хорд дорівнюватимуть . Тоді сума довжинусіх хорд виразиться таким чином : і наближенодорівнюватимедовжині дуги Для обчислення точного значеннядовжини дуги слід перейти до границіцієїсуми , коли всі прямують до нуля . Якщо - диференційована , то і при цьомутежпрямуватиме до нуля . В результаті переходу до вказаноїграниці одержимо довжину дуги у вигляді
Рекомендуєтьсяодержати для обчислення, наприклад, масукривої (див. рис. 9.1) ,знаючи , щоїїлінійнагустина де - неперервнафункція, статичний момент фігури відносноосі , вважаючи, щогустинафігури стала, наприклад, дорівнюєодиниці, момент інерціїтієїсамоїфігуривідносноосі за того самого припущеннящодогустини.
Обчислюючимасу дуги , будемовважати , що в межах маленького відрізка дуги густинамаси мало змінюється , тобтоїїможнавважатисталою . Обчислюючи статичний момент фігури відносноосі будемомати на увазі , щостатичним моментом матеріальної точки відносноосіназиваєтьсядобутокмаситочки на їївіддальвідосі й що за сталоїгустинимасупрямокутноїсмужкиможназосередити в їїцентрі і вважати точкою .
Обчислюючи момент інерціїфігури відносноосі ,слідвважати, що момент інерціївузенькоїсмужкивідносноосі, їйпаралельної, дорівнює добуткумасисмужки на квадрат їївіддалівідосі. Розв’язуючицізавдання, нескінченномалими величинами, порядок якихбільший за одиницю, можнанехтувати.