Нехай функція z=f(t) описує зміну в часі продуктивності деякого виробництва. Знайдемо об’єм продукції, виробленої за проміжок часу [0;T]. Якщо продуктивність не змінюється з часом ( f(t) – стала функція), то об’єм продукції Du , вироблений за проміжок часу [t,t+Dt], задається формулою Du = f (t)×Dt . У загальномувипадку справедлива наближенарівністьDu = f(x)×Dt , де xÎ[t,t+Dt], щовиявляєтьсятимточнішим, чимменшеDt . Розіб’ємовідрізок[0;T] на проміжки часу точками: 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ... < t n = T . Для величиниоб’ємупродукції i Du ,виготовленої за проміжок часу [] i i t ,t -1 , маємо() i iiDu = f x×Dt , де [] i ii t ,t Î-1 x , D= i -i-1 t tt , i = 1,2,...,n . Тоді»å=å()×== n i 1 i i n i 1 i u Duf xDt . Якщо i maxDt прямує до нуля, тодікожна з використанихнаближенихрівностейстаєбільшточнішою, тому () i n i i n t f t i åxD=®¥D® 1 max 0 lim .Враховуючиозначеннявизначеногоінтегралу, остаточно одержуємо() , 0 u f t dt T ò=тобтоякщо f(t) – продуктивністьпраці у момент t, то f (t)dt T ò 0 є обсягомвиробленоїпродукції за проміжок [0,T]. Висновок: величина і обсягпродукції, виробленої за проміжок часу [0,T], чисельнодорівнюєплощіпідграфікомфункції z = f(t), щоописуєзмінупродуктивністіпраці з плином часу, на проміжку [0,T] або f (t)dt T ò 0 .
