Геометричний зміст визначеного інтеграла:площа S криволінійноїтрапеції (фігура, обмеженаграфікомнеперервноїдодатної на проміжку [a;b] функції f(x), віссю Ох, та прямими х=а, х=b) обчислюється за формулою
де S- площа фігури, обмеженої графіком функції y = f(x) і прямими х = а, х = b і y = 0.
Механічний зміст
Нехай матеріальна точка М переміщається під дією сили, спрямованої уздовж осі Ох і що має змінну величину F = F (x), де х - абсциса просувалася точки М.
Знайдемо роботу А сили по переміщенню точки М уздовж осі Ох з точки х = а в точку х = b (a 0 , х 1 , ..., b = х n (х 0 <х 1 <... <х n ) розіб'ємо на n часткових відрізків [х 0 ; х 1 ], [Х 1 ; х 2 ], ..., [х n -1 ; х n ]. Сила, що діє на відрізку [х i -1 ; х i ], змінюється від точки до точки. Але якщо довжина відрізка О”х i = х i - х i -1 досить мала, то сила на цьому відрізку змінюється незначно. Її можна наближено вважати постійною і рівною значенню функції F = F (x) в довільно вибраній точці х = c i [х i -1 ; х i ]. Тому робота, здійснена цією силою на відрізку [Х i -1 ; х i ], дорівнює добутку F (c i ) в€™ О”х i . (Як робота постійної сили F (c i ) на ділянці [х i -1 ; х i ]) .За точне значення роботи А приймається межа суми за умови, що найбільша довжина О» часткових відрізків прагне до нуля:
Отже, робота змінної сили, величина якої є безперервна функція F = F (x), діюча на відрізку [a; b], дорівнює визначеному інтегралу від величини F (x) сили, взятому по відрізу [a; b].
У цьому полягає механічний зміст визначеного інтеграла.
