Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y (крестом). Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.
Ось x называется осью абсцисс, а ось y - осью ординат. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A.
Расстояние между двумя точками
Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
AC = xb - xa;
BC = yb - ya.
Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
AB = √AC2 + BC2.
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2
- Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2
Деление отрезка в данном отношении:
а)С – не является серединой отрезка АВ
Заданы координаты двух несовпадающих точек А (х1;у1) и В ( х2; у2). Нам требуется найти координаты х и у точки С, которая делит отрезок АВ в отношении L, где L - некоторое положительное действительное число.
Координаты точки С находятся по формуле:
x=x1+Lx2/1+L y=y1+Ly2/1+L.
б) С – середина отрезка АВ
Если точка С является серединой отрезка АВ, то ее координаты определяются по формулам
x=x1+x2/2 y=y1+y2/2
Уравнение линий на плоскости
Уравнением линии на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами(x и у).
Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(x0; у0) на данной линии, достаточно проверить, удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = k·x + b
